Vollständige Induktion 2?
Vollständige Induktion,
Hallo,
Ich habe mich wieder mit dem Prinzip der vollständigen Induktion befasst und habe folgenden Denkfehler: Am Anfang gibt es ja eine Behauptung, die man durch das Einsetzen einer Zahl beweist. Das bedeutet ja, dass man ab diesem Moment sagt, dass die Gleichung XY für eine bestimmte Variable (natürliche Zahl) gilt. Sagen wir Mal, die Voraussetzung ist, dass es beispielsweise für n 1 gilt. Dann setzt man für n, (n + 1) ein und beweist hiermit unter der Voraussetzung, dass die Gleichung für n=1 erfüllbar war, dass die Gleichung auch für den Nachfolger, also zwei erfüllbar ist.
Ab hier habe ich eine Frage: Üblicherweise hört man ja hier auf (die Annahme, dass es für alle natürlichen Zahlen gilt, ist bewiesen). Liegt es hierbei daran, dass wenn man zeigt (durch Umformungen etc), dass man n+1 auf der „anderen“ Seite rekonstruieren kann, dass auch n+2, also auch n+3 n+4 ..-…. rekonstruierbar ist? Oder wie versteht man das? Würde das also auch bedeuten, dass wenn ich (n-1) beweise, dass auch (n-2..) gilt?
Zudem: Verstehe ich das richtig, dass die vollständige Induktion also einer Art Beweissatz ist, der die „Gültigkeit“ einer Lösungsmenge darlegt?
Gibt es eine Möglichkeit nur mit der vollständigen Induktion zu beweisen, für welche Zahlenmengen eine Gleichung gilt (also ohne davor eine Voraussetzung zu haben, dass beispielsweise Gleichung XY für alle natürlichen Zahlen gilt)?
3 Antworten
Du beweist, dass wenn es für eine Zahl n gilt, es auch für eine Zahl n+1 gilt. Damit ist es von der ersten Zahl für die Du es konkret bewiesen hast und für alle nachfolgenden bewiesen.
Wenn Du den Anfang nicht beweisen kannst, dann ist es auch für alle n potentiell falsch.
Die Gegenrichtung gilt, wenn Du beweisen kannst, dass es, wenn Du es für N bewiesen hast, auch für n-1 gilt. Das ist ja das gleiche in grün.
Beim Beweisen kann Dir auch aufgehen, dass es nur für n+2 gilt, aber auch da für jedes. Und schon hast Du eine andere Menge, für die das zu Beweisende gilt.
Das logische Prinzip ist der "Domino-Effekt": Du beweist im Endeffekt im Induktionsschritt: Wenn irgendein Stein umfällt, fällt auch der nächste Stein um. Im Induktionsanfang zeigst Du, dass es einen ersten Stein gibt, der umfällt und damit ist erwiesen, dass alle umfallen. Denn der nächste des ersten Steins ist der zweite, der fällt um, weil der Induktionsschritt ja einen beliebigen Stein als umfallend angenommen hatte. Damit wird dann der zweite Stein zu dem angenommen umfallenden Stein und daher fällt auch der dritte (wieder wegen des Induktionsschritts). Und das geht unendlich weiter.
Ich verstehe absolut nicht, was Du Dir jetzt für Gedanken machst. Meine Antwort sagt doch gerade im letzten Satz "Und das geht unendlich weiter". Da kann man nur noch zur Verdeutlichung hinzufügen: ... weil n ∈ ℕ
Genau, diesen Effekt kenne ich. Ich habe soeben mitbekommen, dass es auch sein kann, dass beispielsweise (n+2) erfüllbar ist, aber (n+1) nicht, wie ist das zu verstehen?
... das verstehe ich gar nicht, in welchem Zusammenhang das eine Bedeutung haben soll.
Dann setzt man für n, (n + 1) ein und beweist hiermit unter der Voraussetzung, dass die Gleichung für n=1 erfüllbar war, dass die Gleichung auch für den Nachfolger, also zwei erfüllbar ist.
Nein, man beweist, dass die Behauptung für den jeweiligen Nachfolger gilt, wenn sie für für n gilt (bzw. wenn sie so gilt, wie in der Induktionsannahme angenommen).
Du zeigst also für eine beliebige natürliche Zahl, dass die Aussage für den Nachfolger gilt, wenn sie für die Zahl selbst gilt.
Und dann reicht es, anhand einer einzigen natürlichen Zahl zu zeigen, dass die aussage gilt, um zu beweisen, dass sie auch für alle darauf folgenden natürlichen zahlen gilt (für n+1, für den nachfolger von n+1, etc.).
Ja genau das meinte ich ja: ich zeige, dass es beispielsweise für n=1 gilt
Wenn ich jetzt n+1 einsetze, zeige ich ja auch, dass es für den Nachfolger von n, also 2 gilt (sofern n als 1 definiert ist (Anfangs trifft man ja eine Voraussetzung, dass die Aussage für einen bestimmten Wert n gilt) . Wenn ich aber durch Termumformung zeigen kann, dass es für n+1 gilt, dann muss es ja auch für n+2 (n+3…) gelten.
Interessantes Thema hier! Und wie kann der von dir beschriebene Fall auftreten? Mit dem Ansatz n+1 probiere ich ja zu zeigen, dass egal welches n + (Zahl) sich auch auf der anderen "Seite" wiederfindet, lässt sich also rekonstruíeren. Wie kann es dann sein, dass n+2 aber nicht n+1 gilt? Weil vielleicht jede zweite Zahl ein Ereignis (beispielsweise ergibt sich eine ungerade Zahl) ergibt?
Wie kann es dann sein, dass n+2 aber nicht n+1 gilt?
Bei alternierenden Folgen beispielsweise.
Ich kann leider kein konkretes Beispiel geben, da ich schlecht bin, was Beispiele angeht und das bei mir schon etwas her ist, dass ich mich dmait befassen musste.
Aber vielleicht ist hier etwas dabei:
https://www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf
Hey,
Danke für deine Antwort. Genau, diesen Effekt kenne ich. Ich habe soeben mitbekommen, dass es auch sein kann, dass beispielsweise (n+2) erfüllbar ist, aber (n+1) nicht, wie ist das zu verstehen? Hat das dann was mit der Zahlenmenge zu tun? Also wenn man beispielsweise eine Gleichung hat, die nur für ungerade Zahlen geht (n), dann ist ja logisch, dass nur (n+2/4….) gilt.
Nochmal zurück zum n+1 und dem „Unendlichkeitsbeweis“ (keine Ahnung wie man das jetzt anders ausdrückt, also, dass die Gleichung für alle natürlichen Zahlen n erfüllt wird): Man setzt ja +1 ein und kommt durch Termumformung auf den Ausdruck aus, den man haben will. Ist es dann vereinfacht angenommen so, dass man sagt: Wenn ich mit n+1 den gleichgesetzten Ausdruck rausbekommen habe, dann muss das ja auch für n+2 n+3 … gelten (bei der Umformung macht man ja die gleichen Schritte so gesehen) ? Oder wie versteht man hierbei den mathematischen Hintergrund?