Vollständige Induktion auf wohlgeordnete Zahlen?
Hallo,
In einer Vorlesung habe ich die vollständige Induktion kennengelernt. Ich verstehe das Prinzip und finde das total spannend. Ich wollte fragen wie man formalisiert aufschreiben könnte, dass es für alle Ordinalzahlen gilt, also wenn eine Gleichmächtigkeit zu den natürlichen Zahlen gilt (bijektive Abbildung). Man muss sich grundsätzlich nur überlegen, dass je nach Beweislage der Aufgabe, man alle Elemente einer Menge x berücksichtig:
Wenn man beispielsweise den Beweis für ganze Zahlen durchführen muss, kann man eine beliebige ganze Zahlen nehmen und das ja für n+1 und n-1 beweisen.
PS: Es ist nicht möglich die vollständige Induktion auf ein bestimmtes Intervall anzuwenden. Also beispielsweise zu zeigen, dass eine Gleichung für 1-100 gilt?
2 Antworten
Interessant!
Wenn Du eine Bijektive Abbildung f von den natürlichen Zahlen auf eine Menge M hast, da zeigst Du, dass eine Aussage für f(0) gilt und zeigst, dass die Aussage, wenn sie für f(n) gilt auch für f(n+1) gilt. Da f bijjektiv, gilt die Aussage für alle m aus M.
Nein, die bijektive Abbildung generiert die Reihenfolge in der Bildmenge. Die Aussage muss für die Bildmenge bewiesen werden.
Achso, okay, ja das macht Sinn. Das heißt, dass ich mit der bijektive Beweise, dass es eine Abzählbarkeit gibt, sprich eine Nachfolgerfunktion. Diese musst dann individuell nochmal (mit einem beliebigen Startwerr in "beide" Richtungen) bewiesen werden.
Kann man diese Bedingung irgendwie in Formalsprache ausdrücken?
Verstehe ich richtig:
Wenn ich eine Aussage für die natürliche Zahlen beweise und eine andere Menge auf diese bijektiv abbilden kann, dann gilt die Aussage auch für die andere Menge?
Aber die rationalen Zahlen sind ja auch die natürlichen Zahlen bijektiv abbildbar, aber es gibt gleichungen, die trotzdem nur für natürliche Zahlen gelten (wahrscheinlich verstehe ich das falsch(