Vollständige Induktion?
Das soll bewiesen werden.
Beim Induktionsschritt (Schluss) habe ich: Induktionsbehauptung=Induktionsvoraussetzung
Ich habe alle klammern aufgelöst und zusammengefasst. Am. Ende kam dann raus: 1/3n^3+n^2+2/3n= 1/3n^3+n^2+2/3n
Ich glaube, dass es viele anders machen, aber ich komme ja auf das gleiche, also müsste es richtig bewiesen sein. Ist es so richtig?
2 Antworten
Also unser Mathe Prof hat und was abgezogen, wenn man nicht die linke Seite nach rechts umgeformt hat.
Du kannst ja einfach die Schritte von n^3/3-n/3 zu deiner Lösung umgekehrt dranhängen, dann sollte es passen
Du hast am Ende ja eine wahre Aussage da stehen. Passt ja theoretisch.
Aber da steht halt nicht n^3/3-n/3 = n^3/3-n/3
Und das hat bei uns Abzug gegeben, weil du links nicht nach rechts umgeformt hast
Ah, ich sollte lieber so umformen, damit der term aus der Induktionsbehauptung bzw. vom Anfang so wieder raus kommt?
Stern verdient :) Wenn man beim Induktionsschritt viele klammern oder Potenzen hat, dann muss man ja viel zusammenfassen und so. Sollte man diese Schritte auch ausschreiben? Weil das ja schon viel Platz verbraucht.
Danke ;)
Du musst nicht jeden Schritt einzeln aufschreiben. Man sollte halt noch erkennen wie man von der einen Zeile in die nächste gekommen ist.
Also kannst du z.B. auch vieles auf einmal zusammenfassen
Hallo,
aus Deiner Antwort geht nicht hervor, daß Du das Prinzip der vollständigen Induktion wirklich verstanden hast.
Du hast zunächst die Induktionsbehauptung oder -voraussetzung.
Hier wird behauptet, daß k*(k-1), wenn Du für k nacheinander Zahlen von 1 bis n einsetzt und alle Ergebnisse addierst, am Ende das Gleiche ergibt, als wenn Du
die Zahl n, bis zu der k läuft, in den Term n³/3-n³ einsetzt.
Dazu zeigst Du zunächst einmal, daß diese Behauptung für das kleinste k gilt (Induktionsanfang). Du setzt für n also zunächst eine 1 ein, ebenfalls für das n auf der rechten Seite der Gleichung, und zeigst, daß beide Seiten das Gleiche ergeben.
Wenn k von 1 bis 1 läuft, hast Du nur einen Summanden:
1*(1-1)=0
Setzt Du für n auf der rechten Seite eine 1 ein, hast Du 1/3-1/3=0.
Die beiden Seiten stimmen überein, für n=1 stimmt die Behauptung also.
Würde sie nicht stimmen, könntest Du bereits aufhören, denn eine falsche Behauptung braucht man nicht zu beweisen.
Da der Anfang aber korrekt ist, zeigst Du nun, daß, wenn die Behauptung für k von 1 bis n stimmt, sie dann auch für k von 1 bis n+1 stimmt. In diesem Fall wäre die Behauptung allgemeingültig. Du hast ja bereits gezeigt, daß sie für n=1 stimmt. Zeigst Du die Gültigkeit des Schritts von n zu n+1, ist natürlich damit die ganze Behauptung bewiesen, denn dann gilt: Stimmt sie für n=1, dann stimmt sie auch für n=1+1=2. Stimmt sie für n=2, stimmt sie auch für n=2+1=3 usw. von Ewigkeit zu Ewigkeit. Amen.
Für diesen Nachweis darfst Du die Induktionsbehauptung benutzen. Du nimmst also an - in dubio pro reo gilt hier auch in der Mathematik - daß die Behauptung stimmt und stellst sie auf die Probe.
Die Behauptung lautet, daß die Summe aller Glieder von k=1 bis n von k*(k-1) das Gleiche ergibt wie n³/3-n/3. Nehmen wir an, das stimmt - für n=1 stimmt es ja auf jeden Fall - dann müßte, wenn wir der bisherigen Summe n³/3-n/3 den Summanden hinzufügen, der als nächstes käme, nämlich (n+1)*(n-1+1)=n*(n+1) das Gleiche herauskommen, als wenn wir anstelle von n sofort n+1 in die rechte Seite der Gleichung einsetzen.
n³/3-n/3+n*(n+1)=(n+1)³/3-(n+1)/3.
Beide Seiten ausmultiplizieren, zusammenfassen und sehen, ob am Ende das Gleiche herauskommt.
Herzliche Grüße,
Willy
Sorry, wie meinst du das?