Beweis mithilfe von vollständiger Induktion bei schwieriger Produktzeichen-Gleichung. Nächste?

3 Antworten

Ich würde in der zweiten Gleichung erst mal den Laufindex k um 1 erhöhen, damit man auf die Formel für n greifen kann:

Produkt( k; 1; n+1 ) ( 1 - 1/(n+1+k) ) =

Produkt( k; 2; n+2 ) ( 1 - 1/(n+1+k-1) ) =

Produkt( k; 2; n+2 ) ( 1 - 1/(n+k) ) =

Produkt( k; 1; n ) ( 1 - 1/(n+k) ) / (1+1/(n+1)) * (1+1/(2n+1)) * (1+1/(2n+2))

Die Faktoren rechts kommen von k=1, n+1 und n+2.

Nach Voraussetzung hat man nun

( 2 - 1/(n+1) ) / ( 1 + 1/(n+1) ) * ( 1 + 1/(2n+1) ) * ( 1 + 1/(2n+2) ) =

2 - 1/(n+2)


Flocke0n  02.11.2024, 00:25

Hallo, ich hätte eine Frage zu der Lösung. Wie kommt man auf den Ansatz mit der Indexverschiebung? Ist das ein üblicher Trick für Produkte, den man mit Übung und Erfahrung erkennt? Oder muss man da tasächlich vollkommen willkürlich darauf kommen?

eterneladam  02.11.2024, 06:51
@Flocke0n

Bei vollständiger Induktion im Zusammenhang mit Summen oder Produkten ist das üblich, um die Induktionsvoraussetzung ins Spiel bringen zu können.

Du hast Dich beim Umformen vertan:

Links laufen die Nenner von n+2 bis 2(n+1). Rechts hast Du Nenner von n+1 bis 2n und noch ein 2(n+1).

Du musst rechts also noch durch 1+1/(n+1) teilen und den Faktor 1+1/(2n+1) explizit stehen lassen.

Da fehlt im nenner vom faktor ganz rechts noch eine +1