Vollständige Induktion?
Hi ihr Lieben,
ich habe diese Aufgabe im Internet gefunden und wollte fragen, warum man hier so vorgegagen ist. Bei dieser Aufgabe soll man mit vollständiger Induktion prüfen, ob
11^(n+2) + 12^(2n+1)
durch 133 teilbar ist?
Im letzten Schritt bzw IS in der vorletzten Zeile schreibt man:
= 11*(11^(n+2) + 12^(2n+1)) - 11*12^(2n+1) + 144*12^(2n+1)
durch diese Rechung wurde die ursprüngliche Term doch kleiner gemacht
- 11*12^(2n+1) + 144*12^(2n+1) wenn man das mit dem vergleicht
+ 12^2*12^(2n+1).
Ist das nicht falsch?
Also das ist:
- 11*12^(2n+1) + 144*12^(2n+1) < + 12^2*12^(2n+1).
Induktionsschritt:
11^((n+1)+2) + 12^(2(n+1) + 1)
= 11^(n+3) + 12^(2n + 3)
= 11*11^(n+2)+ 12^2*12^(2n+1)
= 11*(11^(n+2) + 12^(2n+1)) - 11*12^(2n+1) + 144*12^(2n+1). (*)
= 11*(11^(n+2) + 12^(2n+1)) + 133 * 12^(2n+1)
3 Antworten
Hallo nochmal.
für 11^(n+2)+12^(2n+1) läßt sich das durchaus beweisen.
Der Induktionsanfang für n=0 lautet:
11^2+12^1=121+12=133 und das ist natürlich ein Vielfaches von 133.
Zu zeigen ist, daß unter der Voraussetzung, daß 11^(n+2)+12^(2n+1) durch 133 ohne Rest teilbar ist, dies auch für 11^(n+1+1)+12^(2n+2+1) gilt für alle n Element N (n=0 eingeschlossen).
Was unterscheidet 11^(n+2) von 11^(n+3)? Es ist 11 mal so viel, also zehnmal mehr als 11^(n+2).
11^(n+3)=11^(n+2)+10*11^(n+2).
Ebenso ist 12^(2n+3) 12^2*12^(2n+1) und damit 144*12^(2n+1), also
12^(2n+1)+143*12^(2n+1).
Du kannst 11^(n+3)+12^(2n+3) demnach auch als folgende Summe aufschreiben:
11^(n+2)+12^(2n+1)+10*11^(n+2)+143*12^(2n+1).
Da 11^(n+2)+12^(2n+1) laut Induktionsvoraussetzung durch 133 teilbar sind, mußt Du nur noch zeigen, daß auch das, was addiert wird, durch 133 teilbar ist, also
10*11^(n+2)+143*12^(2n+1).
Dazu wandelst Du 143*12^(2n+1) in (10+133)*12^(2n+1) um und löst die Klammer auf: 10*12^(2n+1)+133*12^(2n+1), so daß Du nun zeigen mußt, daß
10*11^(n+2)+10*12^(2n+1)+133*12^(2n+1) durch 133 teilbar ist.
133*12^(2n+1) ist sicher durch 133 teilbar.
Es bleibt zu zeigen, daß auch 10*11^(n+2)+10*12^(2n+1) durch 133 teilbar ist, indem die 10 ausgeklammert wird:
10*(11^(n+2)+12^(2n+1)) ist das Zehnfache eines Terms, der laut Induktionsvoraussetzung durch 133 teilbar ist und damit auch durch 133 teilbar.
Es gilt also: 11^(n+3)+12^(2n+3)=
11^(n+2)+12^(2n+1)+10*(11^(n+2)+12^(2n+1))+133*(11^(n+2)+12^(2n+1))=
(11^(n+2)+12^(2n+1))*(1+10+133)=144*(11^(n+2)+12^(2n+1)) und damit ebenfalls durch 133 teilbar wie behauptet.
Da Du bei der vollständigen Induktion die Induktionsvoraussetzung für den Beweis benutzen darfst, mußt Du die Gleichung so umformen, daß diese auch in dem neuen Term für n+1 erscheint.
Herzliche Grüße,
Willy
Es gibt bei diesen Beweisen oft den einen Dreh, auf den Du kommen mußt. Hier war es der, die 143 in 133+10 aufzuteilen, so daß zum einen die 133 noch einmal als Faktor erscheint und zum anderen die 10 ausgeklammert werden kann.
Der Weg, der in Deiner Frage gezeigt wird, funktioniert natürlich auch und beruht letztlich auf dem gleichen Gedanken wie mein Weg, ist nur direkter.
Der Term wurde nicht kleiner gemacht - es wurde 11*12^(2n+1) subtrahier und gleich wieder addiert, so dass das Ergebnis gleich bleibt.
https://www.gutefrage.net/frage/wie-funktioniert-eine-vollstaendige-induktion
Hallo,
für welche n soll das denn gelten?
Weder 11^(0+1)+12^(2*0+1) noch 11^(1+1)+12^(2*1+1) oder 11^(2+1)+12^(2*2+1) sind durch 133 ohne Rest teilbar.
Wenn schon der Induktionsanfang nicht stimmt - was willst Du denn da noch beweisen?
Herzliche Grüße,
Willy
Es sollte für nichtnegative ganze Zahlen der Ausdruck n∈N0 11^(n+2) +12^(2n+1) durch 133 teilbar sein.
Das war wohl ein Schreibfehler. Es sollte eigentlich n+2 dort stehen.
Ich habe deswegen eine neue Antwort geschrieben und darin gezeigt, wie der Beweis funktioniert.
Vielen Dank für die Mühe. Jetzt habe ich das endlich verstanden und kann somit jeden Aufgabentyp der vollständigen Induktion mit teilbarkeits Beweis lösen. Lg