Vollständige Induktion: 5^n + 7 ist durch 4 teilbar?

Hallo,

leider weiß ich nicht, wie ich bei dieser Aufgabe den Induktionschluss bilde. Geht es überhaupt?

Answer 1

[MagicalGrill]

5^(n+1) + 7 = 5 * 5^n + 7

= 5 * (5^n + 7) - 35 + 7...

Comments

[KnackiYt]

Bei = 5 * (5^n +7) -35 +7

gibt es da eine bestimmte Regel?

[MagicalGrill]

@KnackiYt

Joa, das Distributivgesetz 😂 Ich wollte unbedingt in der Klammer dieses 5^n+7 stehen haben, also habe ich die 7 manuell durch ne Nullergänzung hinzugefügt:

5 * 5^n + 7

= 5 * (5^n + 7 - 7) + 7. Jetzt das Distributivgesetz und du erhältst

= 5 * (5^n + 7) - 5 * 7 + 7.

[nobytree2]

@KnackiYt

5 * 5^n + 7 = 5 * 5^n + (5*7 - 5*7) + 7 = (5 * 5^n + 5*7) - 5*7 + 7

= 5 * (5^n + 7) - 5*7 + 7 = 5 * (5^n + 7) - 7 * (1- 5) = 5 * (5^n + 7) - 7 * (4)

Answer 2

[nobytree2]

Induktionsbasis: Für n=1: 5 + 7 = 12 = 3 * 4. Man könnte auch mit n=0 anfangen: 1 + 7 = 8 = 2 * 4, da natürliche Zahl (ohne 0) hoch 0 die 1 er gibt

Induktionsannahme: Es gilt für alle n.

Induktionsbeweis

$sei\ z\in\mathbb{N}\ ohne\ Null$

$5^{n+1}+7=5\cdot5^n+7=5\cdot\left(5^n+7\right)-5\cdot7+7$ $=5\cdot4\cdot z-7\cdot\left(5-1\right)=4\cdot5\cdot z-4\cdot7=4\cdot\left(5\cdot z-7\right)$

Ich konnte diesen 5 hoch n + 7 durch 4*z ersetzen, weil wir in der Induktionsannahme davon ausgingen, dass das durch 4 teilbar ist.

Wir haben es in der Induktionsbasis für 1 oder für 0 bewiesen und im Induktionsbeweis haben wir bewiesen, dass wenn es für n gilt, dann auch für n+1. Also gilt es für alle n Element natürlicher Zahlen, auch für die 0.

Answer 3

[techniker68]

Geht immer einen Bruch zu bilden. Es kommt nur nicht immer eine ganze zahl raus.

1/3 z.b ist 0,333333333. bis ins Unendliche.

Mario

Answer 4

[RIDDICC]

1. IA: n=1: 5^1+7=5+7=12 stümmt... denn: 3·4=12
2. IV: sei die Aussage für n bereits bewiesen... also:5^n+7=4·k mit k aus N
3. IS: 5^(n+1)+7=5·(5^n+7)-4·7=5·4·k-4·7=4·(5·k-7)
4. färtich...