Versteh einer wie man das rechnet?

Answer 1

[Marouane243]

Das ist eine s.g. Optimierungsaufgabe.

Meistens hast du zwei Unbekannte und benötigst zwei Bedingungen.

In diesem Falll U = 2(a + b) = 400;

Umgestellt nach b:

I b = 200 - a;

Zweite Bedingung ist der Flächeninhalt, bzw. die Funktion A in Abhängigkeit von a und b:

II. A(a,b) = a • b;

Nun kannst du I in II einsetzen:

A(a) = a( 200 - a) = 200a - a²,

Nun musst du den extrem Punkt ermitteln und die erste Ableitung A'(a) = 0 setzen.

Woher ich das weiß: Hobby – Iwas mit Zahlen und so.

Comments

[evtldocha]

Zu seinem Glück kann sich da a raus kürzen

... Du hast gar keine Gleichung für A(a). Du hast lediglich den Funktionsterm für A(a), also "kürzt" sich da nichts.

[Marouane243]

@evtldocha

Oh stimmt korrekt;

Ich werde es korrigieren.

Answer 2

[evtldocha]

Flächenfunktion und Nebenbedingung: $\left(1\right)\ A\left(a;b\right)=a\cdot b$ $\left(2\right)\ U=2\cdot\left(a+b\right)=400\ \to b=200-a$

Die Breite "b" aus (2) in (1) $A\left(a\right)=a\cdot\left(200-a\right)$

Das ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen $a_1=0;\ a_2=200$

Der Scheitelpunkt und damit das Maximum der Parabel befindet sich genau in der Mitte zwischen den Nullstellen: $a_{\max}=\frac{a_2-a_1}{2}=\frac{200}{2}=100$

Damit ergibt sich für b an dem das Rechteck seine maximale Fläche hat: $b_{\max}​=200-a=200-100\ =\ 100$

Nicht ganz überraschend ist ein Quadrat dasjenige Rechteck mit der größten Fläche bei gegebenen Umfang.

Anmerkung: Falls das eine Übung zu Analysis "Extremwertaufgaben" sein sollte, kann man das ganze natürlich auch mit der Nullstelle der 1. Ableitung berechnen