Das ist die sogenannte geometrische Summenformel.

Sagen wir, du willst

1 + q + q² + q³ + q⁴ + q⁵

ausrechnen. Dann kannst du das mit folgendem Trick machen:

(1 + q + q² + q³ + q⁴ + q⁵)•(q-1) =

q + q² + q³ + q⁴ + q⁵ + q⁶

-1 - q - q² - q³ - q⁴ - q⁵ =

q⁶ - 1.

Also ist

1 + q + q² + q³ + q⁴ + q⁵ = (q⁶ -1)/(q-1).

Das kann man natürlich genauso mit beliebig großen Summen machen, und kommt so auf die geometrische Summenformel

1 + q + q² + ... + q^n = (q^(n+1) - 1)/(q - 1).

Eine unendliche Summe ist definiert als Grenzwert der endlichen Zwischensummen.

Summe von n=0 bis unendlich von q^n

(in deinem Fall ist q = 2/3) ist somit der Grenzwert von

Summe von n=0 bis m von q^n

für m gegen unendlich. Diese endliche Summe haben wir aber gerade mit der geometrischen Summenformel ausgerechnet: die ist gleich (q^(m+1) - 1)/(q - 1). Für m gegen unendlich geht q^(m+1) für q < 1 gegen 0 oder für q > 1 gegen unendlich. Für q > 1 gehen also die Zwischensummen gegen unendlich und für q < 1 (wie zB für q = 2/3) geht sie gegen

(0 - 1)/(q - 1) = 1/(1-q),

also in deinem Fall gegen 1/(1 - 2/3) = 1/(1/3) = 3.

Generell ist es relativ schwer zu zeigen, dass ein Graph planar ist, ohne ihn zu zeichnen. Im wesentlichen musst du dafür zeigen, dass dieser Graph ein paar bestimmte Untergraphen nicht enthält: schau dir dafür den Satz von Kuratowski bzw Satz von Wagner an. Unter anderem müsstest du zeigen, dass keine Kombination von 5 Ecken vollständig verbunden sind, also K_5 (der Graph mit 5 Ecken und 10 Kanten) kein Untergraph ist.

Dafür gibt es einige Möglichkeiten (wenn man Glück hat) zu zeigen, dass etwas kein planarer Graph ist. Dafür benutzt du die Eulersche Polyederformel um aus der Anzahl der Ecken und Kanten die Anzahl der Flächen zu berechnen:

Flächen = Kanten + 2 - Ecken

und benutzt dann Abschätzungen dazu, ob das sein kann: zB muss in einem zusammenhängenden planaren Graphen mit mehr als einer Kante gelten, dass

2 Kanten >/= 3 Flächen.

Im Fall von K_5 würde das bedeuten, dass

Flächen = 10 + 2 - 5 = 7

und

20 >= 21, ein Widerspruch.

Deswegen ist zB K_5 nicht planar.

Wenn man den Satz des Pythagoras aufschreibt, dann bezeichnet man üblicherweise mit a und b die beiden Katheten und mit c die Hypotenuse. Außerdem ist es in einem Dreieck gebräuchlich die Ecke gegenüber von a mit A zu bezeichnen, die gegenüber von b mit B und gegenüber c mit C, damit man sich das einfacher merken kann. Von dieser Bezeichnung kommt die berühmte Formel a² + b² = c².

Um den Satz des Pythagoras anzuwenden oder aufzuschreiben ist es aber an sich vollkommen egal, wie du die Seiten und die Ecken benennst. Des Satz des Pythagoras sagt nur aus:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der beiden Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse, bzw

Kathete² + andere-Kathete² = Hypothenuse².

Dieser Satz stimmt immer, egal wie die Seiten des Dreiecks bezeichnet sind. Ich darf auch die beiden Katheten mit b und c benennen, und die Hypotenuse mit a, dann kommt halt

b² + c² = a² raus.

Auch die Benennung der zugehörigen Eckpunkte ist nicht zwingend, nur naheliegend - also wird es oft so gemacht. Du darfst die Katheten auch ä, ö und die Hypotenuse ü nennen. Dann ist die Formel halt ä² + ö² = ü².

Wie du die Seiten benennest ist nicht Teil vom Satz des Pythagoras und ist auch mathematisch vollkommen irrelevant. Es gibt nur eine Art, auf die man es normalerweise benennt, wenn man den Satz präsentiert.

Um die Dastellungsmatrix einer linearen Abbildung A bzgl einer Basis B auszurechnen, musst du für jedes b in B das Element A(b) als Linearkombination der Basis B darstellen. Die Skalare dieser Linearkombination bilden dann die entsprechende Spalte deiner Matrix.

Für n = 1 kann man die Matrix aus deinem Beispiel zB folgendermaßen berechnen:

T(1) = 1 = 1 • 1 + 0 • x

T(x) = x + 1 = 1 • 1 + 1 • x

Ensprechend ist die Matrix

1 1

0 1

Ich habe mal aus deine anderen Fragen rausgelesen, dass du Kongruenzen im Kontext der Geomtrie meinst.

Da bedeutet "kongruent" im wesentlichen "deckungsgleich". Zwei Figuren sind kongruent, wenn man die eine ausschneiden und perfekt auf die andere drauflegen könnte.

Das tolle an kongruenten Figuren ist, dass alle ihre Eigenschaften gleich sind: sie haben die gleichen Seitenlängen, die gleichen Winkel, den gleichen Umfang, den gleichen Flächeninhalt, usw. Aber das ist ja offensichtlich, wenn man sie schon übereinanderlegen kann.

Was aber nicht offensichtlich ist, ist wie man bestimmt, ob zwei Figuren kongruent sind, ohne sie auszuschneiden und übereinander zu legen. Wenn es dazu nämlich einen guten Trick gäbe (ohne, dass ich beide Figuren komplett abmessen muss), dann kann ich eine Figur vor mir auf dem Tisch liegen haben, komplett ausmessen und alles über sie wissen; dann mit meinem Trick bestimmen, dass meine Figur auf dem Tisch kongruent zu einer anderen Figur ist, die ich leider nicht komplett ausmessen kann; und dann schlussfolgerungen über diese andere Figur ziehen.

Diese "Tricks" sind die Kongruenzsätze. Zum Beispiel sagt der "sss-Kongruenzsatz" aus, dass es reicht, dass die 3 Seitenlängen der Dreiecke gleich sind, damit sie kongruent sind. Das bedeutet, dass wenn ich 2 Dreiecke mit den gleichen Seitenlängen habe, dann sind die Innenwinkel, die Höhen, die Seitenhalbierenden, die Winkelhalbierenden, die Umkreise, die Innenkreise dieser beiden Dreiecke, usw alle gleichgroß.

Wenn du also ein Dreieck vorgegeben hast, von dem du die Seitenlängen 5cm, 3cm und 7cm kennst, und den Flächeninhalt A auch kennst; und ich sage "ich habe ein Dreieck hinterm Rücken, das die Seitenlängen 3cm, 7cm und 5cm hat", dann weißt du ganz genau, dass mein Dreieck genauso aussieht wie deins und also genau den gleichen Flächeninhalt hat.

Die Kongruenzsätze sind also wichtig, damit die bestimmen kannst, dass irgendwelche Winkel oder irgendwelche Seiten über die du eigentlich nichts weißt gleichgroß sind, indem du zeigst, dass die Dreiecke von denen sie ein Teil sind gleich sind.

--------

Jetzt ist die Frage: woher wissen wir denn, dass es nicht 2 verschiedene Dreiecke mit den gleichen Seitenlängen geben kann?

Dazu nehmen wir uns ein Dreieck ABC und versuchen wir einfach das angebliche andere Dreieck mit den gleichen Seiten, wie unsers, zu malen. Das andere Dreieck muss erstmal eine Seite (zB AB) mit unserem Dreieck gemeinsam haben (bis auf rumschieben), die eine Seite ist ja gleichlang. Dann bleibt nur noch die Frage, wo wir den dritten Punkt C' hinsetzen können. Da die beiden anderen Seitenlängen AC und BC auch genauso sein sollen, wissen wir genau, dass C' genau den Abstand |AC| zu A und den Abstand |BC| zu B haben muss.

Wenn wir uns jetzt alle Punkte, mit Abstand |AC| zu A aufmalen, kriegen wir den Kreis mit Mittelpunkt A, der durch C geht. Genauso, wenn wir alle Punkte mit Abstand |BC| zu B aufmalen, kriegen wir den Kreis mit Mittelpunkt B, der durch C geht. Diese beiden Kreise schneiden sich aber nur an zwei Punkten und C' muss (damit die Seitenlängen gleich sind) auf beiden diesen Kreisen liegen. Das heißt C' ist ebtweder C, in welchem Fall wir einfach nur das gleiche Dreieck nochmal konstruirt haben, oder C' ist der andere Schnittpunkt der Kreise. Wenn man sich diesen anderen Schnittpunkt S mal genauer anschaut, sieht man, dass das Dreieck ABD einfach das Dreieck ABC, an AB gespiegelt ist. Also kommen wir wieder auf das gleiche Dreieck!

Also können wir schlussfolgern, dass es garkein anderes Dreieck gibt.

-----

Es gibt natürlich noch andere Kongruenzsätze, zB sws: wenn zwei Seiten und der dazwischen eingeschlossene Winkel je gleichgroß sind, dann sind die beiden Dreiecke auch kongruent. Insbesondere ist dann auch ihre dritte Seite gleichlang. Wie man bei den anderen Kongruenzsätzen darauf kommt, dass alle Dreiecke mit solchen Eigenschaften gleich sind, kannst du dir ja mal versuchen selber zu überlegen (oder nachschlagen).

Schau dir erstmal die Folge

cos(2pi k/3) an.

Siehst du die Häufungspunkte davon? Kannst du das beweisen?

Schlussfolgere daraus, was die Häufungspunkte von

2 cos(2pi k/3) + 1

sind.

Welche Teilfolgen der natürlichen Zahlen korrespondieren zu diesen Häufungspunkten?

Schau dir für diese Teilfolgen dann

2 cos(2pi k/3) + 1 - k^-1

an. Konvergiert das auf den jeweiligen Teilfolgen?

Was meinst du? Ein Dreieck hat die Innenwinkelsumme 180°.

Ein Viereck kann man in 2 Dreiecke aufteilen, also ist die Innenwinkelsumme 2•180°.

Ein Fünfeck kann man in 3 Dreiecke aufteilen, also ist die Innenwinkelsumme 3•180°.

Ein Sechseck kann man in 4 Dreiecke aufteilen, also ist die Innenwinkelsumme 4•180°.

Und so weiter. Zusammenfassend:

3-eck -> 1 • 180°

4-eck -> 2 • 180°

5-eck -> 3 • 180°

6-eck -> 4 • 180°

Generell kann man ein n-eck in (n-2) Dreiecke aufteilen und kriegt eine Innenwinkelsumme von (n-2) • 180°:

n-eck -> (n-2) • 180°

Du weißt nicht nur, dass diese Funktion an diesen Punkten Extrema hat, sondern auch, dass sie überhaupt durch diese Punkte verläuft! du weißt also:

f(0) = 0

f(2) = 4

f'(0) = 0

f'(2) = 0.

Das sind 4 Gleichungen, die die 4 Parameter bestimmen sollten.

Um dieses Rätsel zu lösen, musst du einfach die Bedingungen als Gleichungen aufschreiben. Wenn eine Größe nicht gegeben ist, dann führst du eine Unbekannte dafür ein:

- Die zwei Seiten eines Rechtecks unterscheiden sich um 5 cm.

Das bedeutet, dass die beiden Seitenlängen des Rechtecks x und x + 5cm sind. (x ist eine noch unbekannte Größe)

- Die Fläche dieses Rechtecks ist ...

Das ist das Produkt der Seiten, also x • (x + 5).

- ...um 64 cm² kleiner als ...

Also x • (x + 5) = ... - 64.

- ... die Fläche eines Rechtecks, dessen eine Seite um 13 cm größer ist als die kleinere Seite des gegebenen Rechtecks, während die andere Seite so lang wie diese ist.

Dieses neue Recheck hat die Seiten x + 13cm und x. Die Fläche ist also

... = x • (x + 13).

Du erhälst also die Gleichung

x • (x + 5) = x • (x + 13) - 64.

Das ist eine quadratische Gleichung in x, die du nach x auflösen kannst.

Wie wäre es mit 0?

Du musst nicht die Mathematik an sich können/mögen, sondern das Abstrahieren und in lösbare Zwischenschritte aufteilen von Problemen, was Fähigkeiten sind, die auch für die Mathematik benötigt werden. Deswegen gibt es eine Überschneidung zwischen Leuten, die Mathe mögen und denen, die Softwareentwicklung mögen.

In der Schule wird dir vorher genau gesagt was für eine Art von Aufgabe du in der Klausur lösen musst und mit dir wird genau dieser Typ Aufgabe 100 mal geübt. Und wenn etwas abgefragt wird, was nicht genau so drankam, dann ist das "total unfair".

In der Uni wird von dir erwartet, dass du auch Aufgaben zu dem entsprechenden Thema, die nicht genau so mit euch geübt wurden, lösen kannst.

Wenn du dir die jeweilige Rotationskörper anguckst, siehst du, dass dein Rotationskörper ne ganz andere Form hat, als der Rotationskörper mit dem Zylinder. Es gibt also keinen offensichtlichen Grund, warum sie gleich sein sollen. Sind sie auch nicht!

Du gehst davon aus, dass für das entgültige Volumen egal ist, wie weit deine Figur weg vom Rotationszentrum ist, aber das stimmt nicht! Je weiter weg ein Punkt vom Rotationszentrum ist, desto größer wird das Volumen, das deswegen erzeugt wird, denn der Radius wird größer. Sonst bräuchtest du zur Berechnung von Rotationskörpern nur den Flächeninhalt unter der Kurve auszurechnen und mit 2pi r multiplizieren. Aber das gibt das falsche Ergebinis!

Das einfachste Beispiel (in 2d) dazu: Sagen wie ich rotiere einen 1 cm langen Strich von (1|0) zu (2|0) um den Ursprung und will den Flächeninhalt der Rotationsfigur haben. Das ist ein 1cm breiter Streifen der Länge ca 9.5, also kommt ca 10 cm² raus. Aber wenn ich den Strich (100,0) zu (101,0) um den Ursprung rotiere, dann kommt ein viel viel längere 1cm breiter Streifen raus.

Das Informatikstudium ist viel theoretischer als du dir das vielleicht gerade vorstellst. Wenn du gut Programmieren lernen möchtest, solltest du lieber eine Informatikausbildung machen.

Im Studium wirst du unter anderem Vorlesungen zu folgenden Themen hören:

- Lineare Algebra

- wie schnell Algorithmen, die bestimmte Dinge berechnen, theoretisch sein können (sowas wie P/NP falls du schonmal was davon gehört hast)

- Automaten, Grafen und Sprachen

- Logik

- Wie ein Speicher aufgebaut ist

- wie eine CPU aufgebaut ist

- wie ein Betriebssystem aufgebaut ist

- welche Kommunikationsprotokolle es gibt

- Verschlüsselung

All das sind sehr theoretische Themen, zu denen du ganz normale Fragen in der Klausur kriegst, die nichts mit Programmierung zu tun haben. Du musst vielleicht mal in ein paar wenigen Vorlesungen Code auf ein Blatt schreiben, aber das wird eher die Ausnahme sein.

Zu vielen dieser Vorlesungen bietet es sich aber an, dich als Hausaufgabe oder sogar als Abschlussprüfung ein kleines/großes Programm schreiben zu lassen. Du wirst also schon nebenbei programmieren, das ist aber nicht das primäre Ziel des Informatikstudiums.

Bei solchen Zahlenreihen ist der Trick immer gleich: du guckst dir an, was in jedem Schritt dazukommt und erkennst darin ein Muster. In dem Fall:

3 + 1 = 4

4 + 4 = 8

8 + 9 = 17

17 + 16 = 33

Wenn du ein bisschen Erfahrung mit Zahlen hast, siehst du sofort, dass 1, 4, 9, 16 die Quadratzahlen sind.

Wenn du diesen einfachen Trick kennst, kannst du schonmal die Hälfte solcher Aufgaben lösen.

So kannst du Lösung im Kopf ohne Computer finden (dazu musst du aber die Teilbarkeitsregeln kennen):

- Wenn eine Zahl durch 5 teilbar ist, endet sie auf 0 oder 5, d.h. die 5te Ziffer ist eine 5.

- Wenn eine Zahl durch 2, 4, 6 oder 8 teilbar ist, dann ist sie gerade. Eine Zahl ist genau dann gerade, wenn sie auf 0, 2, 4, 6 oder 8 enden. Also müssen die zweite, vierte, sechste und achte Ziffern aus 2, 4, 6, 8 bestehen. Die Ziffern sind also abwechselnd gerade und ungerade.

- Wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, dann sind ihre letzten beiden Ziffern x0, x4, x8 für eine gerade Ziffer x oder y2, y6 für eine ungerade Ziffer y. Da bei uns die Ziffern abwechselnd gerade und ungerade sind, muss also die 4te Ziffer und die 8te Ziffer eine 2 oder 6 sein. (durch 8 teilbar bedeutet insbesondere durch 4 teilbar) Das heißt, dass die 4 und 8 für die 2te und 6te Ziffer übrig sind.

- Wenn eine Zahl durch 3, 6 oder 9 teilbar ist, ist sie insbesondere durch 3 teilbar. Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (also die Summe ihrer Ziffern) durch 3 teilbar ist. Das bedeutet, dass die Summe der ersten 3, 6 und 9 Ziffern jeweils durch 3 teilbar ist. Wenn ich zwei durch 3 teilbare Zahlen voneinander subtrahiere kommt eine durch 3 teilbare Zahl raus, also ist

1.Ziffer + ... +6.Ziffer - (1.Ziffer + 2.Ziffer+ 3.Ziffer) = 4.Ziffer + 5.Ziffer + 6.Ziffer

durch 3 teilbar. Wir wissen bereits, dass

4te Ziffer = 2 oder 6,

5te Ziffer = 5

6te Ziffer = 4 oder 8.

Probiert man die 4 Möglichkeiten durch, sieht man, dass nur

1) □4□258□6□ und

2) □8□654□2□

funktionieren.

Die 1te und 3te Ziffer sind ungerade, aber nicht 5, also 1, 3, 7 oder 9. Damit die Summe der ersten 3 Ziffern durch 3 teilbar ist, müssen diese beiden Ziffern

im Fall 1) 1 und 7 sein,

im Fall 2) 1 und 3/ 1 und 9/7 und 3/7 und 9 sein.

- Wenn eine Zahl durch 8 teilbar ist, dann sind ihre letzten 3 Stellen durch 8 teilbar. Für die 7te Ziffer bleibt im Fall 1) nur 3 oder 9 übrig. In diesem Fall wären die letzten 3 Stellen der letzten 8 Stellen also 836 oder 896. Davon ist nur 896 durch 8 teilbar, also sind die möglichen Lösungen in Fall 1)

147258963 und 741258963.

Im Fall 2) kann die 7te Ziffer gleich 1, 3, 7 oder 9 sein. In diesem Fall wären die letzten 3 Stellen der letzten 8 Stellen also 412, 432, 472 oder 492. Davon sind nur 432 und 472 durch 8 teilbar, also sind die möglichen Lösungen in Fall 2)

183654729, 381654729, 189654327, 189654723, 981654327, 981654723, 789654321 und 987654321.

- Nun prüfen wir bei allen diesen möglichen Lösungen nach, ob ihre ersten 7 Stellen durch 7 teilbar sind. Das stimmt nur für

381654729.

Das ist also die einzige Lösung!

Ich hoffe, das ist verständlich. Sag bescheid, wenn ich bestimmte Stellen genauer erklären soll. Ich habe an keiner Stelle einfach geraten oder so!

A) Was genau in diesem Fall "gerecht" ist, ist meiner Meinung nach eine Meningsfrage. Wahrscheinlich ist folgende Antwort gesucht:

Wenn mit Wahrscheinlichkeit x% der erste Mitspieler am Ende gewinnt und mit Wahrscheinlichkeit (100-x)% der zweite, dann könnte man sagen, dass es "gerecht" ist, wenn der erst Spieler x% vom Einsatz und der zweite Spieler (100-x)% vom Einsatz gekommt.

B) Das Baumdiagramm ist ein Art das zu berechnen, du brauchst an sich nichts weiter! Eine alternative Art das zu berechnen wäre:

Damit die führende Person nicht gewinnt, müsste sie ab jetzt 4 Runden hintereinander verlieren. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist

½ × ½ × ½ × ½ = 1/16.

Die Wahrscheinlichkeit vom Gegenteil, also dass die führende Person gewinnt ist dann also

1 - 1/16 = 15/16.

C) Hier musst du einfach die möglichen Anzahlen der ausstehenden Münzwürfe (1, 2, 3 oder 4) gewichtet mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten, dass dieser Fall eintritt, zusammenrechnen. Diese Wahrscheinlichkeiten kannst du aus deinem Baumdiagramm ablesen:

1 × ½ + 2 × ¼ + 3 × ⅛ + 4 × ⅛

= 1⅞ = 15/8.

Erstmal berechnest du a aus dem Satz von Pythagoras:

h² + (s/2)² = a².

Dann benutzt du, dass das kleine Dreieck rechts unten ähnlich zu der rechten Hälfte des ganzen (großen) Dreiecks ist, da sie den Winkel rechts unten gemeinsam haben und beide einen rechten Winkel haben. Deshalb sind ihre Seitenverhältnisse gleich:

c : (a/2) = h : (s/2).

Daraus bestimmst du c. Nun kannst du nochmal den Satz von Pythagoras in dem kleinen Dreieck anwenden:

(a/2)² + c² = b².

Daraus bestimmst du b.

Um solche Aufgaben allgemein lösen zu können, solltest du folgende Lösungsstrategie verwenden:

1) Schreibe auf, was in jedem Schritt dazukommt. In dem Fall wäre das

+ 6

+ 15

+ 21

+ 36

+ 57

+ 93

2) Erkennst du eine Gesetzmäßigkeit? Ja? -> du bist fertig! Nein? Wende Schritt 1) auf deine neue Folge an:

+ 9

+ 6

+ 15

+ 21

+ 36

3) Siehtst du nun eine Gesetzmäßigkeit? (In diesem Fall sollte dir zB auffallen, dass das die gleichen Zahlen, wie in Schritt 1 sind) Ja? -> fertig! Nein? Gib diesen Ansatz auf und versuche einen anderen Ansatz (das sollte aber eher selten vorkommen):

4a) Schreibe die Unterschiede des Doppelten der Zahl davor zu der jeweiligen Zahl hin:

2 × 28 - 34 = 22

2 × 34 - 49 = 19

etc

Wenn du darin kein Muster siehst, versuche erst Ansatz 4b). Wenn dieser auch kein Ergebnis bringt, dann versuche es mit dem dreifachen, 4 fachen und 5 fachen, ... 10 fachen.

4b) Schreibe jeweils den Unterschied von der Summe der beiden vorherigen Zahlen zu der Zahl hin:

28 + 34 - 49 = 13

34 + 49 - 70 = 13

49 + 70 - 106 = 13

70 + 106 - 163 = 13

106 + 163 - 256 = 13.

Erkennst du ein Muster? (In diesem Fall schon!)

Zu deiner konkreten Aufgabe oben würde ich also bei Schritt 3 und auch bei Schritt 4b zu einer Lösung kommen. Die Lösung aus Schritt 3 wurde bereits von Quotenbanane erklärt. Die Lösung aus Schritt 4b gibt genau das gleiche Muster zurück. Es gibt hier also 2 Arten auf das Ergebnis zu kommen.

Am Ende jedes Semesters schreibt man eine Prüfung in jeder Vorlesung, die man gehört hat. In der Regel sind das 3 Vorlesungen. Für jede dieser Prüfungen erhälst du eine Note. Am Ende des Bachelors/Masters werden alle diese Noten gemittelt, gewichtet mit den Credits/Semester-Wochen-Stunden der jeweiligen Vorlesung. Das ist dann deine Endnote, obwohl die anderen Noten auch auf dem Zeugnis stehen. Die Abschlussarbeit wird auch benotet, bringt auch Credits und geht entsprechend gewichtet in die Endnote ein.

Die Credits sind zur Gewichtung der Vorlesungen und zur Abschätzung des Arbeitsaufwands da. Es wird empfohlen pro Semester Vorlesungen im Wert von insgesamt 30 Credits zu belegen. Im Bachelor zB bedeutet dass, dass du nach 3 Jahren Regelstudienzeit bei 180 Credits bist. Daher ist die Anforderung des Bachelors auch 180 Credits zu haben.