Beweis Vektorräume Basis?
Hallo,
mein Prof meinte wir sollen uns mal folgenden Beweis selber anschauen. Er zeigt warum eine Basis jeden Vektor durch eine Linearkombination darstellen kann. Als Grundlage dient die Definition der Basis: Das ist eine Menge maximal linear unabhängiger Vektoren.
Der Beweis:
Ich verstehe aber hier den mittleren Teil nicht, konkret: Wenn ich den Vektor a nicht durch meine Basisvektoren schreiben kann, wieso kann ich deshalb sagen, dass alles zusammen linear unabhängig ist?
Danke
2 Antworten
Angenommen a1,...an,a sind linear abhängig. (Und dass a1,...,an eine Basis ist)
Das heißt, dass es reelle Zahlen b1,...bn,b gibt, sodass b1*a1+...+bn*an+b*a=0, wobei die Koeffizienten nicht alle gleich 0 sind.
Dann muss b ungleich 0 sein, da a1,...an eine Basis ist, also linear unabhängig. (Überlegen dir am besten selbst wieso das gelten muss)
Wenn du als a*b auf beide Seiten abziehst und durch -b teilst erhälst du:
a=-1/b(a1*b1+...an*bn)
Somit lässt sich a als Linearkombination der Basis darstellen.
Somit folgt: linear abhängig => a lässt sich darstellen
Was Äquivalent zu:
a lässt sich nicht darstellen => linear unabhängig
Also müssen a1,...,an,a linear unabhängig sein.
Die Dimension eines Vektorraums entspricht der Anzahl der linear unabhängigen Vektoren der Basis. Das ist gemeint mit "dass a_1, ..., a_n maximal ist" - es ist die maximale Anzahl an linear unabhängigen Vektoren dieser Basis. Jede Basis eines Vektorraums hat die gleiche Anzahl an linear unabhängigen Vektoren.
Gäbe es jetzt einen neuen Vektor a, der sich nicht als Linearkombination darstellen liese, würde es bedeuten, es gibt einen weiteren lineaen unabhängigen Vektor und die Basis wäre um ein Element größer.
Wenn ich den Vektor a nicht durch meine Basisvektoren schreiben kann, wieso kann ich deshalb sagen, dass alles zusammen linear unabhängig ist?
Alle Elemente eines Vektorraumes lassen sich durch eine Linearkombination der Basisvektoren darstellen
Könntest du diesen Teil aber noch genauer erläutern, wenn es geht?
Ohne mich zu wiederholen, nicht wirklich.
Jede Basis eines Vektorraums hat die gleiche Anzahl an linear unabhängigen Vektoren. Beispiel: Eine Basis des Vektorraumes R^3 (R ist die Menge der reellen Zahlen) wird immer drei Vektoren haben, da sich alle anderen Vektoren aus einer Linearkombination davon darstellen lassen. Im Zweifelsfall nimmt man eben die EInheitsbasis {(1, 0, 0)^T, (0, 1, 0)^T, (0, 0, 1)^T}. Offensichtlich lässt sich damit jeder andere Vektor erzeugen und die Dimension des Vektorraums ist 3.
Der Beweis geht jetzt hier einen Widerspruch an. Man nimmt an, es gäbe einen Vektor a, welcher sich eben NICHT mit solch einer Linearkombination darstellen lässt. Das würde dann dafür sorgen, dass die Basis einen weiteren Vektor enthalten würde - den Vektor a. Somit müsste die Basis von R^3 dann eben {(1, 0, 0)^T, (0, 1, 0)^T, (0, 0, 1)^T, a} sein - R^3 hätte also plötzlich die Dimension 4
Danke. Es kann natürlich sein, dass du mir das nicht weiter erklären kannst, weil es für dich schon logisch ist. Aber falls du da den Finger drauf legen würdest, wäre mein Problem gelöst:
Das würde dann dafür sorgen, dass die Basis einen weiteren Vektor enthalten würde - den Vektor a.
Die Basis enthält linear unabhängige Vektoren, die alle anderen Vektoren des Vektorraums durch eine Linearkombination erzeugen können.
Beispiel: (1, 2, 3)^T = 1 * (1, 0, 0)^T + 2 * (0, 1, 0)^T + 3 * (0, 0, 1)^T
Gäbe es einen zusätzlichen Vektor a, der eben nicht dadurch erzeugt werden kann, ist folglich auch dieser linear unabhängig und muss damit Teil der Basis sein, denn sonst liese sich nicht jeder Vektor durch eine Linearkombination darstellen
Danke schonmal. Könntest du diesen Teil aber noch genauer erläutern, wenn es geht?