Dimensionsformel, wäre das folgende Beispiel korrekt?
Die Dimensionsformel lautet ja:
dim (U + U') = dim U + dim U' - dim (U ∩ U')
wobei U und U' Untervektorräume von K sind und endlichdimensional sind.
Nun das Beispiel:
Angenommen, wir haben den Vektorraum K, der durch die Menge {v1, v2, v3, v4} erzeugt wird. Wir definieren zwei Untervektorräume U und U' in K wie folgt:
U = Span{v1, v2, v3}
U' = Span{v3, v4}
Um die Dimensionenformel anzuwenden, müssen wir die Dimensionen von U, U' und ihrem Schnitt U ∩ U' bestimmen.
Die Dimension von U wird durch die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in U bestimmt. In diesem Fall sind die Vektoren v1, v2 und v3 linear unabhängig, daher ist dim U = 3.
Die Dimension von U' wird ebenfalls durch die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in U' bestimmt. In diesem Fall sind die Vektoren v3 und v4 linear unabhängig, daher ist dim U' = 2.
Der Schnitt U ∩ U' besteht aus den Vektoren, die sowohl in U als auch in U' enthalten sind. In diesem Fall ist v3 der einzige Vektor, der in beiden Untervektorräumen enthalten ist. Daher ist dim (U ∩ U') = 1.
Jetzt können wir die Dimensionenformel anwenden:
dim (U + U') = dim U + dim U' - dim (U ∩ U')
dim (U + U') = 3 + 2 - 1
dim (U + U') = 4
Die Dimension der Summe U + U' beträgt 4.
Wäre das korrekt?
1 Antwort
Zunächst einmal schreibst du am Anfang nur, dass K (das ist übrigens ein etwas problematischer Name für einen Vektorraum, da man mit K üblicherweise den Körper bezeichnet, über den der VR definiert ist), von {v_1, v_2, v_3, v_4} erzeugt wird, du schreibst aber nicht, dass diese Vektoren linear unabhängig sind, also eine Basis darstellen. Im folgenden argumentierst du aber mit der linearen Unabhängigkeit, wird die also vorausgesetzt oder nicht?
Wenn die lineare Unabhängigkeit vorausgesetzt wird, dann hast du die Dimensionen von U und U' korrekt bestimmt und {v_1, v_2, v_3} bzw. {v_3, v_4} sind die Basen von U bzw. U.
Der Schnitt von U und U' enthält alle Vektoren, die sowohl in U als auch in U' enthalten sind. Er enthält aber nicht nur den Vektor v_3, sondern wenn überhaupt wird er vom Vektor v_3 erzeugt. Allerdings musst du hier bei der Argumentation sehr genau hinschauen. Es ist nicht so, dass automatisch der Schnitt von U und U' vom Schnitt von zwei Basen von U bzw. U' erzeugt wird, die beiden Basen können auch disjunkt sein, obwohl der Schnitt nicht die Dimension 0 hat. Da wir in diesem Fall aber beide Basen als Teilmengen der ursprünglichen VR-Basis betrachten können, ist das hier so, aber du kannst im Allgemeinen NICHT einfach den Schnitt nehmen.
Die Berechnung am Ende ist dann korrekt, ja.
Aber wie gesagt: v_1, v_2, v_3 und v_4 müssen linear unabhängig sein, sonst passt das alles nicht.