Unendlich - absolut oder relativ?
Habe mich gerade in Mathe gefragt, ob man Unendlich auch unterscheiden kann, oder ob man es doch absolut betrachtet. Wenn ich zum Beispiel eine Funktion G mit g(x)=0,25 hoch x habe. Die hat einen bestimmten Werteberreich, aus dem ich mir unendlich viele Zahlen ausdenken kann. Ich kann mir aber weniger unendlich Werte ausdenken wie zum Beispiel eine Funktion wie H: h(x) = 1,5 hoch x . Hier kann ich mir mehr unendlich Werte aussuchen.
Kann man Unendlich als relativ ansehen, also unterscheiden, oder ist es absolut???
5 Antworten
Ich denke, dass die Unterscheidung der Kardinalität rationaler Zahlen als abzählbar und derjeniger reeller Zahlen als überabzählbar an der ausgängliche Fragestellung vorbeigeht.
Der Begriff "unendlich", wie er als topologischer Abschluss der reellen Zahlen als ordnungsvollständig angeordneter Menge konzipierbar ist - und darauf bezieht sich begrifflich dein Beispiel - ist sehr wohl eindeutig ("absolut" finde ich hier etwas weniger angemessen). Der Gedanke dahinter ist einfach:
Wäre ein reell Unendliches kleiner als ein anderes reell Unendliches, so wäre das erste seinem nach übersteigbar und also (doch) nicht unendlich. Ein weniger Unendliches ist kein solches. - Du musst eben bei 1,5^x eben weit genug nach rechts gehen, und du hast bei den positiven x unendlich viel Platz dafür.
Das Beispiel ist etwas unglücklich gewählt bei dir.
Nehmen wir mal die natürlichen Zahlen. Davon gibt es unendlich viele, das heisst, die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich. Nun "erweitern" wir diese Menge um die negativen Zahlen und erhalten die Menge der ganzen Zahlen. Deiner Logik nach zu schliessen (und zugegebenermassen intuitiv gesehen einleuchtend) müsste es "mehr" ganze Zahlen als natürliche Zahlen geben. Allerdings ist dem nicht so. Die Mächtigkeit der Menge der ganzen Zahlen ist gleich gross wie jene der natürlichen Zahlen. Das beweist man, indem man zeigt, dass es eine Bijektion zwischen den beiden Mengen gibt.
Dasselbe lässt sich auch für die rationalen Zahlen zeigen - auch ihre Mächtigkeit ist unendlich und "gleich gross" wie die der natürlichen Zahlen. Es gibt also "gleich viele" natürliche Zahlen wie Brüche.
Trotzdem hast du irgendwo recht: Zieht man das weiter, fragt man sich zwangsläufig, ob man mit den reellen Zahlen gleich verfahren kann. Und da wird es spannend: Es gibt tatsächlich mehr reelle als natürliche Zahlen. Obwohl es von beiden unendlich viele gibt, sind alleine im Intervall [0,1] unendlich viele reelle Zahlen mehr enthalten, als es insgesamt natürliche Zahlen gibt.
Etwas vereinfacht ausgedrückt: Es gibt also durchaus unterschiedlich grosse Unendlichkeiten, die man auch unterscheiden kann. Nur dein Beispiel stimmt nicht. ;-)
Im Intervall [0,1] gibt es nicht "mehr unendliche Zahlen als es natürliche Zahlen gibt" ... nenn mir beliebig viele reele Zahlen zwischen 0 und 1, ich nenne dir genauso viele natürliche Zahlen.
Sonst hast du mit den "Mächtigkeiten" recht.
Nein, stimmt nicht. Sagt dir das Kantorsche Diagonalverfahren was? Das funktioniert (auch), indem man alle versucht, den natürlichen Zahlen die reellen Zahlen im Intervall [0,1] zuzuordnen.
Wobei wieder die "Mächtigkeit" eine Rolle spielt; diese muss man vorraussetzen!
Was muss man voraussetzen? Dass es eine Mächtigkeit gibt? Oder wie meinst du das?
Hey,
der Begriff "unendlich" ist relativ gesehen. Es ist nur ein "Objekt", das eingeführt wurde, um etwas Unendlich fernes ein wenig greifbarer zu machen. Viele Mathematiker stoßen in ihrem Grundstudium darauf, dass es Unterscheidungen in der Anzahl der Werte eines Intervalles gibt, die man dann als abzählbar oder überabzählbar unendlich beschreibt.
Abzählbar bedeutet in diesem Zusammenhang: Die Menge hat ungefähr so viele Elemente, wie es natürliche Zahlen gibt. (Die natürlichen Zahlen sind alle positiven ganzen Zahlen, z.B. 1,2,3,4,... usw)
Überabzählbar bedeutet: Die Menge hat so viele Elemente, wie die reellen Zahlen. (Reelle Zahlen sind im Prinzip alle Zahlen, die Du in der Schule kennen lernst. Es gibt noch als Erweiterung der reellen Zahlen die komplexen Zahlen, die man dann durch a+i*b identifizert, wobei i als sqrt(-1) definiert ist.)
Wenn man diese Begriffe leicht anfängt zu verstehen und mehr über die Mengentheorie lernen will, sie basiert auf den Axiomen von Zermelo und Fraenkel ( https://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ) und hat in vielen mathematischen Gebieten einen zentralen Posten.
Nun zu deiner Beobachtung. Ich wähle mal ein anderes Beispiel. :)
Betrachte die Menge aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1, d.h. das Intervall [0,1]. Es lässt sich in der Mathematik beweisen, dass dieses Intervall die selbe Anzahl an Elementen hat, wie das Intervall [0,2] oder [0,3] ... Das lässt sich kognitiv vlt. nicht direkt verarbeiten (also gedanklich greifen oder vorstellen), aber das liegt an dem dehnbaren Begriff der Unendlichkeit. (Zur Unendlichkeit gibt es auch ein Buch, dass in vielen Bücherläden im Ausverkauf liegt :D heißt wohl: Unendlich in 30 Sekunden (?) )
Wenn Du dazu mehr fragen hast, stelle sie ruhig im Kommentar.
Hier kann ich mir mehr unendlich Werte aussuchen.
Warum? Die beiden Funktionen haben den gleichen Definitionsbereich (und auch den gleichen Wertebereich, was hier aber irrelevant ist), ich sehe überhaupt keinen Unterschied.
Abgesehen davon kann man unendliche Mengen anhand ihrer Mächtigkeit vergleichen. Da kannst du googlen gehen, wobei du Abbildungen zwischen Mengen verstehen musst.
Im Wertebereich. Ich habe vielleicht vergessen zu sagen, dass man das Ganze als Folge sehen soll, also im 1. Quadranten.
"mehr unendliche Werte" ist nach Definition nicht möglich. Ich weiss nicht ob man das so sagt, aber nach deiner Wortwahl ist unendlich absolut. Nicht anfangen damit herum zu rechnen.
Ein anderes Beispiel: Du "denkst" dir einen "beliebigen unendlichen Raum", dann kann ich dir immer noch einen "größeren" Raum nennen, nämlich "dein Unendlich"+1 ... unendlich ist aber ohne Ende, also sind solche Gedanken nicht möglich. Es gibt also im Unendlichen keine unterschiedlichen Wertebereiche.
Also ist Unendlich relativ. Äußerst interessant diese Thematik. Mit den Beweisen werde ich mich mal auseinander setzen.