Mathe: ln-Funktion und e-Funktion
Wir haben gelernt, dass die e-Funktion beim grenzwertverhalten für x gegen unendlich über jede andere Polynomfunktion x^n ("x hoch n") dominiert.
Dominiert die e-Funktion auch für x gegen "minus" unendlich?
Dominiert die ln-Funktion für x gegen Null über andere Polynomfunktionen? Und wenn nein, warum?
Danke
2 Antworten
Die Exponentialfunktion dominiert auch für x -> -∞ alle Polynome.
Der Logarithmus ist schwächer als jedes Polynom, ja sogar als jede Wurzelfunktion, weil er die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist.
Wenn e^x für x → +∞ stärker wächst als alle Potenzen, ist es ja irgendwann steiler als jede Potenzfunktion. Damit ist umgekehrt die gespiegelte Steigung der Exponentialfunktion kleiner als die gespiegelte Steigung jeder Potenzfunktion. D. h. der Logarithmus wird für x → +∞ weniger steil als jede Potenzfunktion.
Dass die ln-Funktion für x → +∞ nicht dominiert ist mir klar.
Aber da die e-Fkt. für x → -∞ dominiert bei der Annäherung an die x-Achse, müsste doch die ln-Fkt. über jede andere Funktion dominieren bei der Annäherung an die y-achse (sozusagen)?
Auch hier gilt das Argument mit der Spiegelung.
Für x →-∞ geht e^x schneller gegen die x-Achse als jede Potenzfunktion (insbesondere mit negativem Exponenten mit großem Betrag).
Nach der Spiegelung geht ln(x) für ln(x)→-∞ schneller gegen die y-Achse als jede Potenzfunktion (wieder mit negativem Exponenten, aber mit kleinem Betrag). D. h. wenn y genügend klein ist, ist irgendwann die Potenzfunktion rechts vom Logarithmus, aufgefasst als Funktion von y.
Aufgefasst als Funktion von x heißt das, dass für genügend kleine x > 0 der Logarithmus oberhalb der Potenz liegt.
Man kann das ganze natürlich auch analytisch zeigen, siehe Literatur.
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Andere Argumentation:
Wir vergleichen 1/x^r mit ln(x) (r>0, ansonsten beliebig) für x →0+
Substitution: y = 1/x^r, damit x = 1/(y^(1/r)) = y^(-1/r)
Aus x →0+ wird y →+∞
Damit vergleichen wir y mit ln(y^(-1/r)) für y →+∞
Da exp streng monoton steigend ist, können wir auch vergleichen:
e^y mit y^(-1/r) für y →+∞
Da e^y jede Potenz schlägt, geht die linke Seite stärker gegen +∞ als die rechte gegen 0.
Jetzt logarithmieren wir wieder (der Logarithmus ist auch streng monoton), damit haben wir:
y geht stärker gegen +∞ als ln(y^(-1/r)) gegen -∞.
Resubstitution:
x^r geht stärker gegen 0+ als ln(x) gegen -∞ für x →0+
Also ist z. B. lim (x →0+) x^r * ln(x) = 0
e^x gegen -unendlich läuft gegen 0, da e^-x=1/e^x ist. 1/e^unendlich geht gegen null.
danke für die antwort!
Aber wenn die e-Funktion auch für x -> minus unendlich dominiert und die ln Funktion die umkehrfunktion ist (--> spiegelung an Winkelhalbierender des 1.Quadranten), dann müsste doch ln für x -> 0 auch dominieren?