Überlagerung Harmonische Schwingung?
Guten Abend Zusammen
Ich muss folgende Überlagerungen zweier Harmonischer Schwingungen als A·sin(ω·t + φ) schreiben.
a) cos(ω·t−π/6) + sin(ω·t)
Was ich bis jetzt hab: (zweiter Schritt - Additions/Subtraktionstheorem)
Die Lösung ist √3·sin(ω·t + π/6)
Wie um Gottes Willen komme ich auf die √3 und π/6
Bin um jeden Ansatz dankbar!!
3 Antworten
siehe Mathe-Formelbuch,trigonometrische Funktionen,Überlagerung harmonischer Schwingungen.
y1=a1*sin(w*x+b1)
y2=a2*sin(w*x+b2)
Die Kreisfrequenz w=2*pi/T muß bei beiden Funktionen gleich sein
es muß also sein w1=w2=w ergibt dann wieder eine harmonische Schwingung.
ist w1 ungleich w2,dann ergibt sich eine periodische Zackenkurve (keine harmonische Schwingung)
y=f(x)=y1+y2=a*sin(w*x+b)
a²=a1²+a2²+2*a1*a2*cos(b2-b1) a=Wurzel(a²)
b=arctan(a1*sin(b1)+a2*sin(b2))/(a1*cos(b1)+a2*cos(b2))
Die Herleitung ergibt sich aus dem Einheitskreis
y1=f1(x)=a1*sin(w*x+b1) ist ein Vektor mit dem Betrag r1=a1 ,der sich im mathematisch positiven Sinn dreht (entgegen dem Uhrzeigersinn)
y2=f2(x)=a2*sin(w*x+b2)
wegen w1=w2=w ändert sich der Winkelabstand zwischen den beiden sich drehenden Vektoren nicht.
aus dem Mathe-Formelbuch,trigonometrische Funktionen
f(x)=cos(x)=sin(x+pi/2)
f(x)=cos(x) und f(x)=sin(x) sind beide harmonische Schwingungen,die um pi/2=90° gegeneinander verschoben sind
f(t)=cos(w*t-pi/6)+sin(w*t)
f(t)=sin(w*t-pi/6+pi/2)+sin(w*t)
-pi/6+pi/2=-1/6*pi+3/6*pi=2/6*pi
f(t)=sin(w*t+13*pi)+sin(w*x)
Probe: f(1)=cos(1*1-pi/6)=0,888..
f(1)=sin(1*1+1/3*pi)=0,888..
f(t)=sin(w*t+pi/3)+sin(w*t) b1=pi/3 und b2=0 und a1=1 und a2=1
Werte in die Formeln eingesetzt ergibt y=f(x)=a*sin(w*t+b)
weitere Formeln im Mathe-Formelbuch
Produkte von trigonometrischen Termen
cos(a)*cos(b)=1/2*(cos(a-b)+cos(a+b))
sin(a)*sin(b)=1/2*(cos(a-b)-cos(a+b))
Hinweis: Der sich drehende Vektor im Einheitskreis ergibt ein rechtwinkliges Dreieck.
Bei 2 sich drehenden Vektoren ist das eine Überlagerung von 2 rechtwinklige Dreiecke und das ist dann eine Vektoraddition
Lösung y=f(t)=Wurzel(3)*sin(w*t+0,5236)
f(t)=1*cos(w*t-pi/6)+1*son(w*x)
f(t)=1*sin(w*t+1/3*pi)+1*sin(w*t)
a²=a1²+a2²+2*a1*a2*cos(b2-b1)
a²=1²+1²+2*1*1*cos(0-1/3*pi)=2+2*0,5
a²=3
a=Wurzel(3)
b=arctan(a1*sin(b1)+a2*sin(b2))/(a1*cos(b1)+a2*cos(b2)
b=arctan(1*sin(1/3*pi)+1*sin(0))/(1*cos(1/3*pi)+1*cos(0))=
b=arctan( 1*sin(1/3*pi)/(1*0,5+1*1)=arctan(sin(1/3*pi)/1,5)
b=0,523598..
f(t)=Wurzel(3)*sin(w*t+0,5236) habe ich mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) überprüft
f(t)=cos(w*t-pi/6)+sin(w*t)=Wurzel(3)*sin(w*t+0,5236)
cos(ωt – π/6) + sin(ωt) =
cos(ωt) * cos(π/6) + sin(ωt) * sin( π/6) + sin(ωt) =
(1/2) * √(3) * cos(ωt) + (1/2) * sin(ωt) + sin(ωt) =
(1/2) * √(3) * cos(ωt) + (3/2) * sin(ωt) =
√(3) * ((1/2) * cos(ωt) + (√(3)/2) * sin(ωt)) =
Einschub:
sin(ωt + π/6) = sin(ωt) * cos(π/6) + cos(ωt) * sin(π/6)
sin(ωt + π/6) = sin(ωt) * √(3)/2 + cos(ωt) * (1/2)
sin(ωt + π/6) = (1/2) * cos(ωt) + (√(3)/2) * sin(ωt)
Einsetzen:
√(3) * ((1/2) * cos(ωt) + (√(3)/2) * sin(ωt)) =
√(3) * sin(ωt + π/6)
Hier wird das Thema (auf etwas allgemeinere Weise) erklärt.
http://mathenexus.zum.de/pdf/analysis/funktionen_winkel_weiteres/Ueberlagerung.pdf
https://elektroniktutor.de/signalkunde/signadd.html
Achtung: sin(π/6) = +1/2.
Also ist meine Lösung falsch, habs nachgerechnet und kam auf √3·sin(ω·t + π/3)