Wie bestimmt man bei cos und tan Gleichungen die zweite Lösung?

Bei sin macht man ja pi- die erste Lösung

Wie geht das aber bei Tangens und Cosinus

Answer 1

[mihisu]

Naja. Das kommt darauf an, was du mit „die zweite Lösung“ meinst. Es gibt nicht die zweite Lösung, da es unendlich viele Lösungen gibt und du nicht genauer spezifizierst, welche du nun meinst.

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Vermutlich meinst du bei der Gleichung

$\cos(x)=a$

mit -1 ≤ a ≤ 1 neben der Lösung

$x_1=\arccos(a)$

die Lösung

$x_2=2\pi - \underbrace{\arccos(a)}_{x_1}\text{,}$

könntest aber auch die Lösung

$x_0= - \underbrace{\arccos(a)}_{x_1}$

meinen. [Dabei solltest du erkennen können, dass x₂ = x₀ + 2π ist, was im Grunde daran liegt, dass die cos-Funktion 2π-periodisch ist.]

Bedenke nämlich:

$\cos(2\pi - x)=\cos(x)\quad\text{und}\quad\cos(- x)=\cos(x)$

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Vermutlich meinst du bei der Gleichung

$\tan(x)=a$

neben der Lösung

$x_1=\arctan(a)$

die Lösung

$x_2=\pi+\underbrace{\arctan(a)}_{x_1}\text{.}$

Bedenke nämlich:

$\tan(x+\pi) = \tan(x)$

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Hier mal eine grobe Übersicht der möglichen Lösungen...

Tabelle als Bild:

Tabelle als PDF: https://cdn.discordapp.com/attachments/882681362505695252/942068745793331250/sin-cos-tan-Losungen.pdf

Comments

[Dollarius]

Danke für die Hilfe. Eine Frage hätte ich noch: Ich rechne gerade die Aufgabe sin(3x)=1 und soll die ersten beiden Aufgaben bestimmen. Dafür substituiere ich 3x=z und rechne dann z=arcsin(1). Also z=1/2 pi. Um die zweite Zwischenlösung zu bestimmen dachte ich, dass ich nun die Periode dazuaddiere. die wäre ja 2pi/3. Dann ist aber meine zweite Zwischenlösung z2=7/6pi. In der Lösung steht aber z2=5/2pi

Wo ist mein Denkfehler?

[mihisu]

@Dollarius

[...] und soll die ersten beiden Aufgaben bestimmen.

Sicher meinst du da nicht „Aufgaben“, sonder eher „Lösungen“, oder?

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Wenn du sin(z) hast, so ist sin(z) doch 2π-periodisch bezüglich z, nicht 2π/3-periodisch. Daher...

z₁ = 1/2 π
z₂ = z₁ + 2π = 5/2 π

Und aus den Zwischenlösungen z erhält man dann mittels Rücksubstitution x = z/3 die gesuchten Lösungen x.

x₁ = z₁/3 = 1/6 π
x₂ = z₂/3 = 5/6 π

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Du hast richtig erkannt, dass sin(3x) tatsächlich 2π/3-periodisch bezüglich x ist. Wenn du das nutzen möchtest, brauchst du aber die x-Werte, nicht die z-Werte. Du könntest also stattdessen auch rechnen...

z₁ = 1/2 π

x₁ = z₁/3 = 1/6 π

x₂ = x₁ + 2π/3 = 5/6 π

[Dollarius]

@mihisu

Vielen Dank. Dann lag da also mein Fehler.

Answer 2

[Ellejolka]

meinst du das ?

cos x = -cos(pi-x)

tan x = -tan(pi-x)