Harmonische Schwingung Formel Frage?

Wie zeige ich, dass man z(t) = Acos (wt + phi) als z(t) = A´ cos wt + B´ sin wt schreiben kann?

Answer 1

[michiwien22]

Kennst du die Summensätze?

cos (a+b) = cos a * cos b - sin a * sin b

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium technische Physik, promoviert in Festkörperphysik

Comments

[PhBScScoreM]

Und wie bringt mich das in dem Fall weiter? Was passiert beispielsweise mit dem Phasenwinkel? Und wie wird aus der Amplitude als Vorfaktor A´und B´?

[PhBScScoreM]

@PhBScScoreM

Danke, wurde schon beantwortet, das Problem war auch, dass wir die Additionstheoreme nie in der Vorlesung besprochen haben, wurde wohl als Grundwissen angenommen.

Answer 2

[mihisu]

Man kann das Additionstheorem

$\cos\left(a+b\right)=\cos\left(a\right)\cdot\cos\left(b\right)-\sin\left(a\right)\cdot\sin\left(b\right)$

nutzen.

============

$z\left(t\right)=A\cdot\cos\left(\omega t+\varphi_0\right)$

$z\left(t\right)=A\cdot\left(\cos\left(\omega t\right)\cdot\cos\left(\varphi_0\right)-\sin\left(\omega t\right)\cdot\sin\left(\varphi_0\right)\right)$

$z\left(t\right)=A\cdot\cos\left(\varphi_0\right)\cdot\cos\left(\omega t\right)-A\cdot\sin\left(\varphi_0\right)\cdot\sin\left(\omega t\right)$

Setzt man nun A' = A ⋅ cos(φ₀) und B' = -A ⋅ sin(φ₀), so erhält man:

$z\left(t\right)=A'\cdot\cos\left(\omega t\right)+B'\cdot\sin\left(\omega t\right)$

Answer 3

[fjf100]

siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jeden Buchladenbekommt.

Kapitel,Überlagerung von 2 harmonischen Schwingungen mir gleicher Kreisfrequenz w.

y=f(x)=C1*sin(w*t)+C2*cos(w*t)

f1(x)=C1*sin(w*t)

f2(x)=C2*cos(w*t)

w1=w2=w ergibt wieder eine harmonische Schwingung.

dargestellt am Einheitskreis sind das 2 sich drehende Vektoren,wobei sich der Winkel zwischen den Vektoren sich nicht ändert.

Das ergibt dann ein rechtwinkliges Dreieck mit A=Wurzel(C1²+C2)²

c1 und C2 sind die beiden Katheten,die den 90° Winkel bilden.

Herleitung

1) y1=f1(x)=A*sin(w*x+c)

2) y2=f(x)=C1*sin(w*x)+C2*cos(w*x)

siehe Mathe-Formelbuch trigonometrische Funktionen

sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)

sin(w*x+c)=sin(w*x)*cos(c)+cos(w*x)*sin(c)

A*sin(w*x+c)=A*sin(w*x)*cos(c)+A*cos(w*x)*sin(c)

.....................=C1*sin(w*x)+C2*cos(w*x)

C1=A*cos(c) und C2=A*sin(c) ergibt

C1/cos(c)=C2/sin(c)

C2/C1=sin(c)/cos(c)=tan(c) also tan(c)=Gk/Ak ergibt A=Wurzel(C1²+C2²)

tan(c)=C2/C1 ergibt (c)=arctan(C2/C1)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Answer 4

[Geograph]

Hier findest Du den Weg

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Additionstheoreme

A • cos(ωt+φ) = A • cos(ωt) • cos(φ) - A • sin(ωt) • sin(φ)

A' = A • cos(φ)

B' = -A • sin(φ)

A • cos(ωt+φ) = A' • cos(ωt) + B' • sin(ωt)