Wellengleichung Lösungsformel D'Alembert?
Hallo meine Lieben!
Hätte zu dieser Aufgabe irgendjemand einen Tipp? Mein Ansatz wäre die Lösungsformel von D'Alembert gewesen... Nur bin ich mir hier nicht wirklich sicher, denn wenn ich für vo= ut(x,0)=5*sin(pi*x) einsetze, dann müsste ich dies doch eig integrieren und dann kommt mir ein cos anstatt einem sin in die Lösung... Wahrscheinlich ist der Ansatz auch komplett falsch... Wäre um jeden Tipp sehr dankbar!
Liebe Grüße
1 Antwort
Man kann hier einen einfachen Produktansatz machen. Heißt nehme an, dass die Lösung die Gestalt:
u(x, t) = f(x)*h(t)
besitzt. Einsetzen liefert dann:
f(x)*h''(t) = 4*f''(x)*h(t)
Ein Vergleich der beiden Seiten liefert einem:
(i) h''(t) = c*h(t)
(ii) f''(x) = k*f(x)
mit Konstanten c und k. Für diese Konstanten muss gelten: c = 4*k; entsprechend lässt sich dann (i) umschreiben zu
(iii) h''(t) = 4k*h(t)
Bei (ii) und (iii) handelt es sich nun um einfache homogene DGL´s zweiter Ordnung deren Lösung direkt angegeben werden kann zu:
f(x) = A*cos(sqrt(k)*x) + B*sin(sqrt(k)*x)
h(t) = C*cos(2*sqrt(k)*t) + D*sin(2*sqrt(k)*t)
Aus den Nebenbedingungen folgt nun:
u(0, t) = 0 = f(0)*h(t) ---> A = 0
u(5, t) = 0 = f(5)*h(t) ---> sqrt(k)*5 = pi*n mit n aus IN\{0}
Wir erhalten damit also:
sqrt(k) = pi*n/5
Und damit schonmal für f(x):
f(x) = B*sin(pi*n/5 * x)
Somit nimmt u(x, t) die Gestalt:
u(x,t) = f(x)*h(t) = sin(pi*n/5 * x)*(E*cos(2*pi*n/5 *t) + F*sin(2*pi*n/5 *t))
wobei E = B*C und F = B*D gelte. Es folgt weiter:
u(x, 0) = 0 ---> E = 0
du(x,0)/dt = 5*sin(pi*x) = sin(pi*n/5 * x)*F*2*pi*n/5
Es folgt hieraus somit:
pi*n/5 = pi ---> n = 5
Und damit final
F*2*pi*n/5 = 2*F*pi = 5
Umstellen liefert:
F = 5/(2*pi)
Die Lösung lautet also:
u(x,t) = (5/(2*pi))*sin(pi* x)*sin(2*pi *t)
