Trapez-Knobelaufgabe?
Hi,
Das ist schon die zweite Frage heute, weshalb ich mich schon im voraus entschuldigen möchte.
Und zwar komme ich dort einfach nicht weiter.
Ich habe zunächst die Grundformel aufgestellt:
A= ½(a+c)h
A=½(a+c)h
Ich brauche zunächst die Mittellinie, diese kann ich jedoch nicht bestimmen, da mir der Punkt c fehlt.
Ich bin am verzweifeln
Danke euch
5 Antworten
Naja, einerseits erhälst du für den Flächeinhalt des Trapezes ...
A = 1/2 (a + c) h
..., was du bereits selbst festgestellt hast.
Dies soll nun gleich dem Flächeninhalt eines Quadrats über der Mittellinie sein, also gleich dem Flächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlänge 1/2 (a + c). Für den Flächeninhalt muss also andererseits gelten:
A = (1/2 (a + c))²
Gleichsetzen liefert dann eine Gleichung, die man nach der gesuchten Seitenlänge c auflösen kann:
(1/2 (a + c))² = 1/2 (a + c) h
[Dividiere durch 1/2 (a + c)]
1/2 (a + c) = h
[Multipliziere mit 2]
a + c = 2h
[Subtrahiere a]
c = 2h - a
Dann kann man schließlich die gegebenen Werte h = 6 cm und a = 7 cm einsetzen, um c zu berechnen:
c = 2h - a = 2 ⋅ 6 cm - 7 cm = 12 cm - 7 cm = 5 cm
============
Ansonsten könnte man vielleicht auch einfach bemerken, dass die Höhe des Trapezes 6 cm ist, und wenn man dann dafür sorgt, dass die Mittellinie ebenfalls 6 cm ist, man also den gleichen Flächeninhalt (6 cm)² wie bei einem Quadrat mit Seitenlänge 6 cm hat. Damit bei vorgegebenem Wert a = 7 cm die Mittellinie eine Länge von 6 cm hat, muss die andere Seite c = 5 cm lang sein. [Beispielsweise indem man im Kopf gerechnet die Differenz 6 cm - 7 cm = -1 cm zweimal zu 7 cm addiert und so 5 cm erhält.]
War ein netter Zeitvertreib, um die Vorbereitung für meine Uni-Klausur vor mir herzuschieben ;)
Kann ich so bestätigen, habe dieselbe Formel herausbekommen! Der Trick ist es, nur eine Unbekannte zu haben (also das c, das später herauskommen soll). Die Mittellinie m stört als Variable nur (ersetze sie also durch die entsprechende Formel), ebenso der Flächeninhalt A (der verschwindet dadurch, dass du zwei Formeln mit A hast, die du dann gleichsetzen kannst).
½(a+c)h = (1/2(a+c) )²
nach c auflösen.
Wenn man sich denkt, dass das ganze ein gleichschenkliges Trapez ist, dann geht das viel viel schneller ist mir gerade aufgefallen.
Vorsicht, das ist eine Annahme, die du nicht einfach so machen kannst! Jedes gleichschenklige Trapez ist ein allgemeines Trapez aber nicht jedes allgemeine Trapez ist gleichschenklig! Nimm NIE mehr an, als du weißt (in den meisten Fällen machst du es dir dadurch eh unnötig schwerer).
Genau! An den Fragesteller/ die Fragestellerin: Kleiner Tipp für alle Aufgabenstellungen in der Mathematik: Versuch immer, so "dumm" wie möglich zu denken. Frei nach dem Motto: "Sei schlau, stell dich doof." Schreib dir also in solchen Fällen NUR auf, was du WIRKLICH weißt. Hier also "a=...", "h=..." und die ganzen Formeln für ein allgemeines Trapez. Nicht mehr, nicht weniger. Wenn das nachher in der Rechnung nicht reicht, kann man immer noch mehr nachdenken. ;)
Die Gleichschenkligkeit ist nicht vorausgesetzt, aber für die Lösung auch keineswegs notwendig oder hilfreich.
Danke euch allen für die glorreichen Informationen. Ich werde sie beherzigen
Die edlen Ritter der Tafelrunde danken für diese glorreiche Danksagung ;)
Das ist schon die zweite Frage heute, weshalb ich mich schon im voraus entschuldigen möchte.
Kein Stress
Flächenformeln....
Für's Quadrat
Für's Trapez
Die zwei Körper haben denselben Flächeninhalt. Daher: Gleichsetzen.
Setze jetzt die Werte für a und h ein.
Mitternachts- bzw. Große/kleine Lösungsformel....
Überprüfung durch Einsetzen....
Passt also soweit.
Achtung, korrekt die Aufgabenstellung lesen. Die Annahme "A = c²" ist nicht korrekt, denn die Aussage ist, dass die Mittellinie (!) gemeint ist als Grundlinie des Quadrats. Es gilt also "A = m²", wodurch die ganze Rechnung auch ein ganzes Stück einfacher wird.
Ah, da hab ich wohl ungenau gelesen. Meine Rechnung baut darauf auf, dass das Quadrat auf der Grundlinie c existiert.
Die Aufgabe lässt sich fast ohne Rechnung lösen:
Trapezfläche = Mittellinie x Höhe = Mittellinie^2
Also muss die Mittellinie gleich lang wie die Höhe sein, also auch 6cm.
Grundlinie a , Mittellinie m und Decklinie c bilden eine arithmetische Zahlenfolge.
Wegen a=7cm und m=6cm folgt dann sofort c=5cm .
Die anderen haben schon das meiste gesagt. Wollte nur der Vollständigkeit halber mal meinen Gedanken noch kurz posten!
Mit einem linearen Gleichungssystem? Wow, was es alles für Möglichkeiten gibt
Im Grunde ist die ganze Aufgabe nichts anderes als das: Zwei Gleichungen, die du zu c auflöst. Ich habe das sehr ausführlich hingeschrieben, das ist nicht notwendig. Aber dadurch sieht man die Grundidee ganz gut, wie ich finde.
Meine Lösung führte auch auf ein lineares Gleichungssystem, nämlich auf folgendes:
(1) m = h
(2) 2m = a+c
(h=6 und a=7 gegeben; c gesucht)
Vielen lieben Dank, dass sie sich Die Zeit genommen haben, mir das zu erklären :-)