Punkte auf Ebene?
Hi,
ich habe hier diese Aufgabe, bei der ich net weiterkomme:
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1;1;-1), Bt (1; 1+t; -1+2t) und Ct (1+2t; 1-t; -1) (t>0) gegeben.
Weisen Sie rechnerisch nach, dass für jeden Wert t die Punkte A, Bt und Ct ein und dieselbe Ebene bestimmen.
Ich habe dazu mal die Ebenengleichung aufgestellt (x=OA+rAB+sAC):
E: x= Es muss ja auch ein parameterunabhängige Lösung rauskommen, aber ich habe keinen Plan, was ich jetzt berechnen muss.
Wäre nett, wenn mir jmd weiterhelfen könnte
t > 0 oder t>=0 ?
t>0
3 Antworten
Du kannst bei beiden Richtungsvektoren jeweils das t rausziehen. Dann bekommst du :
(1,1,-1)+t*r(0,1,2)+t*s(2,-1,0) (das sollen jeweils Spaltenvektoren sein)
Da t >0 gilt, kannst t*r mit k ersetzten und t*s mit l ersetzen. k und l können dann beliebige reelle Zahlen sein (denn für jede reele Zahl k gibt es eine reelle Zahl r, sodass r*t=k gilt, und zwar r=k/t)
Somit hast du eine Ebenendarstellung die unabhängig von t ist und somit für alle t>0 identisch ist
Bzw kürzer:
Für t,k>0 sind ABt und ABk immer linear abhängig da k/t*ABt=ABk gilt. Das selbe gilt für ACt und ACk.
Da die Vektoren für kein t gleich dem Nullvektor sind, spannen sie somit die selbe Ebene auf
Bestimme den Normalenvektor. Dieser steht orthogonal auf der Ebene und sollte unabhängig von t sein.
Erg.: Der Normalenvektor der Ebene, hier: n_Vektor = (2│4│-2), ist unabhängig von t.
Da in allen 3 Fällen t² als Faktor auftaucht, kannst Du ihn rausziehen oder kürzen. Das hat Ähnlichkeit mit der Lösung von Jangler13, der t berets bei den Richtungsvektoren rauszieht.
Ebenengleichung aufgestellt (x=OA+rAB+sAC)
Sei D der Mittelpunkt von BC. Dann nimm die Richtungsvektoren AD und BC (statt AB und AC). Damit sollten die Ebenengleichungen einfacher zu vergleichen sein.
Ja, den Ansatz finde ich sehr logisch, aber im Taschenrechner kommt da ja immer 2t^2, 4t^2 und - 2t^2 raus. Das kann ich wohl einfach wegkürzen?