Bogenlänge x²?
Hey Liebe Experten,
ich wollte mich an der Bogenlänge von f(x) = x² probieren.
Also habe ich das Integral der Wurzel aus 1+ der Ableitung im Quadrat gebildet,
also Integral: sqrt( 1+ 4x²) dx
Nun weiß ich nicht ganz, wie man das integriert. Im Internet habe ich schon die Lösung gefunden, bei der nur bei stand, man solle x2 mit sinh(u) substituiren.
Im Bild seht ihr, wie weit ich mit der Rechnung gekommen bin, aber da weiß ich nicht mehr weiter. Kann mir jemand helfen?
Ben
3 Antworten
Integral (Wurzel(x²+a²)*dx=..
Lösung durch Substitution
aus der Beziehung cosh²(z)-sinh²(z)=1 ergibt
sinh²(z)=cosh²(z)-1
Substitution x=a*sinh(z) quadrieren und einsetzen
x²=a²*sinh²(z) und x²=a²*(cosh²(z)-1)
x²+a²=a²*cosh²(z)
Integrand Wurzel(x²+a²)=a*cosh(z)
Substitution x=a*sinh(z) abgeleitet dx=a*cosh(z)*dz
diese Formeln angewendet ergeben
Int.(Wurzel(x²+a²)*dx=Int.(a*cosh(z)*a*cosh(z)*dz
a²*Int.(cosh²(z)*dz
=a²/2*Int.(1+cosh(2*x)*dx
=a²/2*(z+sinh(2*x)/2)+C
=a²/2*(z+sinh(z)*cosh(z))+C
sinh(z)=x/a ergibt z=arsinh(x/a)
cosh(z)=1/a*Wurzel(x²+a²)
Substitution wieder rückgängig gemacht.
Integra(Wurzel(x²+a²)*dx=a²/2*(arsinh(x/a)+x/a*1/a*Wurzel(x²+a²))+C
...=a²/2*arsinh(x/a)+x/2*Wurzel(x²+a²)+C
Int.Wurzel(x²+a²)*dx=a²/2*ln (Betrag(x+Wurzel(x²+a²))+x/2*Wurzel(x²+a²)+C
Integral(Wurzel(x²+a²)*dx=a*Int.(cosh²(z)*dz
siehe Mathe-Formelbuch
cosh²(x)=1/2*(cosh(2*x)+1)
=a²*Int.(1/2*(cosh(2*z)+1)*dz
=a²/2*(z+1/2*sinh(2*z))+C
hier wurde die Integration durch Substitution angewende F(x)=Integral(f(z)*dz*1/z´
siehe Mathe-Formelbuch Integral(cosh(x)*dx=sinh(x)+C
siehe Mathe-Formelbuch die Beziehung
sinh(2*x)=2*sinh(x)*cosh(x)
=a²/2*(z+2/2*sinh(z)*cosh(z))+C
mit x=a*sinh(z) ergibt (z)=arsinh(x/a)
und cosh(z)=1/a*Wurzel(x²+a²) aus Wurzel(x²+a²)=a*cosh(z)
=a²/2*(arsinh(x/a)+x/a*1/a*Wurzel(x²+a²))+C ausmultipliziert
=a²/2*arsinh(x/a)+x/2*Wurzel(x²+a²)+C
mit der Beziehung arsinh(x)=ln(x+1) siehe Mathe-Formelbuch
Integral(Wurzel(x²+a²)*dx=a²/2*ln(Betrag(x+Wurzel(x²+a²)+
x/2*Wurzel(x²+a²)+C
Wie man nun von arsinh(x/a)=ln(Betrag(x+Wurzel(x²+a²) weiß ich auch nicht.
Die Umformungen cosh²(..) und sinh(2*x) mußt du aus dem Mathe-Formelbuch entnehmen.
So, habe jetzt alles so ähnlich aufgeschrieben und nachvollzogen. Vielen Dank für deine großzügige Hilfe :D
mein Mathe-Formelbuch hat alleine 8 Seiten Formeln und Zeichnungen von der Hyperbelfunktionen
y=f(x)=sinh(x)
y=f(x)=cosh(x)
y=f(x)=tanh(x)
Wenn du ein Mathe freak bist,dann kannst du ja dir jdie ganzen 8 Seiten Formeln und Zeichnungen reinziehen.
Auch kannst du dann versuchen,all die Formeln und Beziehungen herzuleiten.
Ich habe da keinen Nerv zu und habe auch nicht die Grundkenntnisse und Tricks,die dafür notwendig sind.
Außerdem wird die Arbeit nicht bezahlt.
Die einzelnen Rechenschritte habe ich natürlich nicht auf Rechenfehler und Tippfehler geprüft.
Die Rechenschritte müßtest du nun selber nachvollziehen können.
Umformungen von trigonometrischen Funktionen und hier die Hyperbelfunktionen, stehen immer im Mathe-Formelbuch.
Da gibt es so viele Formeln,die kann man gar nicht alle auswendig lernen.
Wer lernt denn schon 8 Seiten mit Formeln und Zeichnungen auswendig ?
Antwort:"Keiner !!"
Lösungsskizze:
Anm.: W = Wurzel, Int. = Integral
Substitution:
W(1 + 4x²) = u – 2x
1 + 4x² = u² – 4ux + 4x²
x = (u² – 1)/(4u)
dx = (u² + 1)/(4u²) * du
Int. ((u – 2 * (u² – 1)/(4u)) * (u² + 1)/(4u²) * du)
Int. ((u/8 + 1/(4u) + 1/(8u³))* du)
F(u) = u²/16 – 1/(16u²) + (¼) * ln(u) + C
Substition rückgängig machen:
F(x) = (1/16)(2x + W(1 + 4x²))² – 1/(16(2x + W(1 + 4x²))²) + (¼) * ln(2x + W(1 + 4x²)) + C
Kontrolle über Ableitung:
siehe Mathe-Formelbuch,Anwendung Integralrechnung
Bogenlänge (Rektifikation)
S=Integral(Wurzel(1+(y´)²)*dx
y=f(x)=x² y´=f´(x)=2*x also (y´)²=4*x²
S=Integral(Wurzel(1+4*x²)*dx) die 4 ausklammern
S=Integral(Wurzel(4)*Wurzel(1/4+x²)*dx) Konstante vor das Integralzeichen zeihen
S=2*Integral(x²+1/4)*dx
Lösung aus dem Mathe-Formelbuch
Integral(Wurzel(x²+a²)*dx=x/2*Wurzel(x²+a²)+a²/2*arcsinh(x/a)+C oder
....=x/2*Wurzel(x²+a²)+a²/2*ln(x+Wurzel(x²+a²))+C
hier a²=1/4=0,25
Hinweis: Zum lösen des Integral Wurzel(x²+a²2)*dx braucht man Spezialkenntnisse,die ich nicht habe.
Am besten ist es,wenn man sich dafür Spezialliteratur aus einen Buchladen besorgt,wo dies hergeleitet wird.
Ich kann folgenden Schritt nicht ganz nachvollziehen:
a²*Int.(cosh²(z)) *dz
=a²/2*Int.(1+cosh(2*x)) *dx
Können Sie mir bitte einmal erklären, was Sie gemacht haben?