Tangente an Kugel?
Ich habe bisher folgendes bekommen:
Was ist aber die Diskriminante dieser Gleichung?
3 Antworten
^Dein Zwischenergebnis setze ich ohne Kontrolle als richtig voraus. Du hast eine allgemeine quadratische Gleichung in t. Um die Diskriminante zu berechnen, solltest du nach Potenzen von t zusammenfassen. Du erhältst:
Die Formel für die Diskriminante ist bekanntlich:
Einsetzen der Werte von a, b, c liefert:
Ausmultipliziern und zusammenfassen nach Potenzen von k ergibt:
Um eine Tangente zu bekommen, muss die Diskriminante 0 sein. Setze den für die Diskriminante erhaltenen Ausdruck also gleich 0 und berechne die Lösungen der so erhaltenen quadratischen Gleichung in k.
Mit freundlicher Hilfe durch das Computeralgebraprogramm Maxima erhalte ich für k die Werte 9 und 19.
Eine knappe Frage meinerseits: Ist an Schulen und schulähnlichen Bildungsstätten für die Bearbeitung derartiger Aufgaben die Verwendung von Computeralgebraprogrammen mittlerweile eigentlich erlaubt?
Nachtrag: Ich habe dein Zwischen ergebnis jetzt doch noch nachgerechet; es ist richtig.
p = 8t-4
q = 20 t²+8t+35
Hast wahrscheinlich recht. Ich war davon ausgegangen: ein Schnittpunkt -> Tangente. Und mit den entsprechenden k ergeben sich auch die Werte für das t dazu.
Sortiere die Gleichung bzgl. t², t, 1, sodass du...
... erhältst. Das ist nun eine quadratische Gleichung bzgl. t. Damit die Gerade eine Tangente der Kugel ist, darf es nur einen Berührpunkt geben, sodass diese quadratische Gleichung nur genau eine Lösung t haben darf. Dementsprechend muss die Diskriminante der quadratischen Gleichung gleich 0 sein.
Bei einer quadratischen Gleichung (bzgl. Variable t) der Form...
... ist die Diskriminante durch...
... gegeben.
Im konkreten Fall, mit a = 20 und b = 8k + 8 und c = k² - 4k + 35, erhält man für die Diskriminante...
Bzw. ausmultipliziert dann...
[Das sollte deine Frage nach der Diskriminante beantworten. Berechne nun weiter, für welchen Wert k die Diskriminante gleich 0 ist.]
Das sollte hier aber eher als quadratische Gleichung bzgl. t (statt bzgl. k) als Variable gesehen werden. Denn die Anzahl der entsprechenden Lösungen t ist hier die Anzahl der Schnittpunkte der Gerade mit der Kugel. Dementsprechend ist relevant, wie viele Lösungen t es gibt, nicht wie viele Lösungen k es gibt.