Supremum und Infimum einer Menge bestimmen?
Hallo,
Man soll von der Menge B (oben links in der Ecke) das Infimum und Supremum finden. ist mein Beweis vollständig? Liebe Grüße
2 Antworten
Für das Supremum muss x>1-ε sein. Für das Infimum passt es.
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Ich würde -1 < 1/n - 1/m so argumentieren:
1/n - 1/m > -1/m > -1
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Die Wahlen von x sind nicht ganz sauber.
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Beim Supremum:
Für ε=5 kannst du bspw. x=1 - 5/2 = -3/2 nicht wählen, weil -3/2 nicht in B liegt.
Das behebst du, indem du sagst, dass du x > ceiling(1 - ε/2) wählst. ceiling rundet 1 - ε/2 auf die nächste ganze Zahl auf und ist damit mindestens so groß wie 1 - ε/2. x darfst du ganz großzügig wählen. Für ε=5 könnte man dann bspw. x=0 wählen, denn 0 ist in B und größer als ceiling(-3/2)=-1.
Dann ist x > ceiling(1 - ε/2) ≥ 1 - ε/2 > 1- ε.
Für das Beispiel ε=5:
x = 0 > ceiling(1 - ε/2) = ceiling(-3/2) = -1 > -4 = 1 - ε
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Beim Infimum nimmst du dann eben x<floor(ε/2 - 1) und erhältst
x < floor(ε/2 - 1) ≤ ε/2 - 1 < ε - 1
Ist das denn vonnöten? Reicht es nicht, dass epsilon hinreichend klein zu wählen? Und mit der ceiling- und floor-funktion ist wahrscheinlich die untere/obere Gaußklammer gemeint. (?)
Beim Tippen dieses Kommentars ist mir aufgefallen, dass der Ansatz mit ceiling und floor nur für recht große ε klappt. Für sehr kleine Epsilon rundet ceiling nämlich auf 1, floor auf -1, dann kann man x nicht so wählen wie ich es behauptet habe. Ich habe aber eine andere Möglichkeit gefunden.
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Zur Rückfrage:
Ja, floor und ceiling meint die Gauß-Klammern.
Du wählst ε nicht, sondern x! Das ist ein wichtiger Unterschied.
x muss für alle ε>0 die Behauptung erfüllen, nicht nur für ein spezifisches. Dass dein x für ε=5 nicht in B liegt, habe ich ja gezeigt. Also passt die Wahl von x für große ε nicht, weil es ja (mindestens) ein ε gibt, für das die Wahl von x die Bedingung x > 1 - ε nicht erfüllt. Auch die Wahl von x beim Infimum scheitert an ε=5.
Für hinreichend kleine ε passt deine Wahl aber auch nicht. Das kannst du bspw. für ε = π/1000 ja mal selbst nachrechnen. Auch da klappt es weder beim Infimum noch Supremum, x aus B so zu bestimmen, wie du es vorhast.
Das aber erfordert gerade die Aussage mit dem Epsilon. Für jedes ε (inbesondere also auch für ε = π/1000) musst du ein x in B(!) finden, sodass x > 1 - ε bzw. x < ε/2 - 1 gilt.
Man muss x also spezifischer wählen.
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Über das Supremum:
x hat die Form x = 1/n - 1/m. Wenn man nun x zwischen zwischen 1 und 1 - ε/2 bekäme, dann wäre ja x > 1 - ε/2 > 1 - ε, was zu zeigen war.
Mein Ansatz wäre, n=1 festzusetzen und m hinreichend groß zu wählen. Für größer werdende m wird 1/m kleiner, wodurch 1/n - 1/m immer näher an 1 kommt. Irgendwann also auch näher an 1 als 1 - ε/2 an 1 kommt.
Für n=1 hast du dann x=1 - 1/m. Das soll größer als 1 - ε/2 sein.
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Dann: 1 - 1/m > 1 - ε/2 <=> -1/m > -ε/2 <=> ε/2 > 1/m <=> 2/ε < m
Für alle m, die diese Ungleichung erfüllen, gilt also x > 1 - ε/2.
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Nun endlich; der Supremumsbeweis:
Sei ε>0 beliebig. Sei x aus B mit x = 1 - 1/m.
Wähle m > 2/ε. Dann ist x = 1 - 1/m > 1 - 1/(2/ε) = 1 - ε/2 > 1-ε.
Also ist 1 das Supremum von B.
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Überlegungen über das Infimum:
Man möchte x zwischen -1 und ε/2 - 1 quetschen. Dabei soll x aus B sein, also x=1/n - 1/m.
Setzt man m=1, kommt x für größer werdende n immer näher an -1. Irgendwann auch näher an -1 als ε/2 - 1 an -1 kommt.
Für m=1 hast du dann x=1/n - 1. Das soll kleiner als ε/2 - 1 sein.
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Dann: 1/n - 1 < ε/2 - 1 <=> 1/n < ε/2 <=> n > 2/ε.
Für alle n, die diese Ungleichung erfüllen, gilt also x < 1 - ε/2.
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Der Infimumsbeweis:
Sei ε>0 beliebig. Sei x aus B mit x = 1/n - 1.
Wähle n > 2/ε. Dann ist x = 1/n - 1 < 1/(2/ε) - 1 = ε/2 - 1 < ε - 1.
-1 ist also das Infimum von B.
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Mit diesen beiden neuen Wahlen von x findest für jedes ε>0 ein x aus B, sodass die Forderung gilt. Wie gesagt, deine Wahl von x lieferte nicht zwingend ein x aus B, meine schon.
Hallo,
in meinem Lehrbuch wird als Beispiel sup(0,1)=1 bewiesen. Das ging dort wie folgt:
a) 1 ist obere Schranke
b) Sei ε>0 beliebig. Ist ε<1, so ist x=1-ε/2>1-ε und x∈(0,1). Ist ε>=1, so ist x=1/2>1-ε und x∈(0,1.
Weiter heißt es:
Die etwas lästige Fallunterscheidung im Beispiel ist nötig, da 1-ε/2 für große ε nicht in (0,1) liegt. Stattdessen hätte man auch x=1-min{1/2, ε/2} für beliebiges ε>0 setzen können.
Andererseits ist es klar, dass es genügt, (b) für alle 0<ε<1 nachzuprüfen, denn schon daraus folgt, dass a kleinste obere Schranke ist. Statt 1 hätte hier eine beliebige positive Zahl stehen können. Man sagt, dass (b) nur für "hinreichend kleine ε>0" nachprüfen muss.
Geht das bei unseren Beispiel nicht auch für 0<ε<4?
Grüße!
Das Lehrbuchargument zieht hier nicht, weil dein x unabhängig vom Intervall, in dem du ε wählst, nicht zwingend in B liegt.
Deine Wahl von x ist auch unter extrem kleinen ε nicht zwingend in B.
Im Beispiel ist die Menge eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wenn man von 1 was extrem kleines abzieht, landet man bei einer reellen Zahl zwischen 0 und 1.
In der Aufgabe hingegen haben wir eine Teilmenge der rationalen Zahlen. Wenn ich da von 1 was abziehe, habe ich nicht zwingend eine rationale Zahl, wie das Beispiel ε=pi/1000 zeigt.
Denn angenommen, x=1 - (pi/1000)/2 läge in B. Dann gäbe es natürliche m,n mit
1/n - 1/m = 1 - (pi/2000)
<=> (m-n)/(mn) = (2000 - pi)/2000. Links steht was rationales, rechts was irrationales. Ein Widerspruch, also liegt x für das sehr kleine ε=pi/1000 nicht in B.
Also reicht es nicht, nur hinreichend kleine ε zu betrachten oder das Betrachtungsintervall sonst wie einzuschränken. Du musst mit x in einem Rutsch wirklich alle ε abholen. Mit deiner Wahl holst du zwar viele ε ab, aber nicht bspw. ε=5 usw.
Könnten wir nicht 1/2^n< ε/2 und 1/m< ε/2 wählen? Dann folgt insgesamt 1/2^n+1/m< ε
Wie kommst du auf 2^n im Zähler? Du musst schon Ausdrücke benutzen, die in der "Reinform" von x (also 1/n - 1/m) irgendwie vorkommen.
Edit:
Oder meinst du 1/n < ε/2 und 1/m < ε/2?
Dann wäre x = 1/n + 1/m < ε, aber du willst ja zeigen dass x>1-ε/2 bzw. x < ε/2 - 1 gilt.
Mit deiner Wahl wird x zwar beliebig klein, liegt aber nicht mehr zwischen 1 und 1-ε/2 bzw. zwischen -1 und ε/2 - 1.
sorry, ich habe mich gerade vertan. Die Lösung ist:
inf B = -1, kein Minimum, da 1/n-1/m>0-1 wegen 1/m <= 1 für alle n,m und man zu ε>0 ein n mit 1/n < ε, also 1/n-1/1<-1+ε wählen kann.
Naja, quasi das selbe hab ich ja auch gemacht. Hier wurde m auch auf 1 festgesetzt, wodurch -1/m zu -1 wird.
n wird gemäß n>1/ε gewählt. Ich hatte halt n>2/ε, aber das ist nicht schlimm. Ich habe n zwar größer gewählt, aber es ist trotzdem richtig. Wäre mein n kleiner als 1/ε, wäre mein Weg falsch.
Dieser Weg ist natürlich eleganter, lässt aber auch die dahinter steckenden Gedankengänge weg. Hier fällt n>1/ε einfach vom Himmel.
Ist das nicht das Archmimedische Prinzip?
Du meinst das archimedische Axiom. Ja, ist es, habe ich nicht bedacht.
Sieht nicht falsch für mich aus. Vielleicht kann dir ein Community-Experte oder so mehr sagen🤔
Hallo Der1Streber, danke für deine Einschätzung. Vielleicht meldet sich ja noch ein Experte! LG
Anmerkung:
Floor macht das selbe wie ceiling, nur rundet floor ab statt auf.