Supremum und Infimum einer Menge bestimmen?
Hallo,
Man soll von der Menge B (oben links in der Ecke) das Infimum und Supremum finden. ist mein Beweis vollständig? Liebe Grüße
2 Antworten
Für das Supremum muss x>1-ε sein. Für das Infimum passt es.
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Ich würde -1 < 1/n - 1/m so argumentieren:
1/n - 1/m > -1/m > -1
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Die Wahlen von x sind nicht ganz sauber.
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Beim Supremum:
Für ε=5 kannst du bspw. x=1 - 5/2 = -3/2 nicht wählen, weil -3/2 nicht in B liegt.
Das behebst du, indem du sagst, dass du x > ceiling(1 - ε/2) wählst. ceiling rundet 1 - ε/2 auf die nächste ganze Zahl auf und ist damit mindestens so groß wie 1 - ε/2. x darfst du ganz großzügig wählen. Für ε=5 könnte man dann bspw. x=0 wählen, denn 0 ist in B und größer als ceiling(-3/2)=-1.
Dann ist x > ceiling(1 - ε/2) ≥ 1 - ε/2 > 1- ε.
Für das Beispiel ε=5:
x = 0 > ceiling(1 - ε/2) = ceiling(-3/2) = -1 > -4 = 1 - ε
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Beim Infimum nimmst du dann eben x<floor(ε/2 - 1) und erhältst
x < floor(ε/2 - 1) ≤ ε/2 - 1 < ε - 1
Ist das denn vonnöten? Reicht es nicht, dass epsilon hinreichend klein zu wählen? Und mit der ceiling- und floor-funktion ist wahrscheinlich die untere/obere Gaußklammer gemeint. (?)
Beim Tippen dieses Kommentars ist mir aufgefallen, dass der Ansatz mit ceiling und floor nur für recht große ε klappt. Für sehr kleine Epsilon rundet ceiling nämlich auf 1, floor auf -1, dann kann man x nicht so wählen wie ich es behauptet habe. Ich habe aber eine andere Möglichkeit gefunden.
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Zur Rückfrage:
Ja, floor und ceiling meint die Gauß-Klammern.
Du wählst ε nicht, sondern x! Das ist ein wichtiger Unterschied.
x muss für alle ε>0 die Behauptung erfüllen, nicht nur für ein spezifisches. Dass dein x für ε=5 nicht in B liegt, habe ich ja gezeigt. Also passt die Wahl von x für große ε nicht, weil es ja (mindestens) ein ε gibt, für das die Wahl von x die Bedingung x > 1 - ε nicht erfüllt. Auch die Wahl von x beim Infimum scheitert an ε=5.
Für hinreichend kleine ε passt deine Wahl aber auch nicht. Das kannst du bspw. für ε = π/1000 ja mal selbst nachrechnen. Auch da klappt es weder beim Infimum noch Supremum, x aus B so zu bestimmen, wie du es vorhast.
Das aber erfordert gerade die Aussage mit dem Epsilon. Für jedes ε (inbesondere also auch für ε = π/1000) musst du ein x in B(!) finden, sodass x > 1 - ε bzw. x < ε/2 - 1 gilt.
Man muss x also spezifischer wählen.
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Über das Supremum:
x hat die Form x = 1/n - 1/m. Wenn man nun x zwischen zwischen 1 und 1 - ε/2 bekäme, dann wäre ja x > 1 - ε/2 > 1 - ε, was zu zeigen war.
Mein Ansatz wäre, n=1 festzusetzen und m hinreichend groß zu wählen. Für größer werdende m wird 1/m kleiner, wodurch 1/n - 1/m immer näher an 1 kommt. Irgendwann also auch näher an 1 als 1 - ε/2 an 1 kommt.
Für n=1 hast du dann x=1 - 1/m. Das soll größer als 1 - ε/2 sein.
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Dann: 1 - 1/m > 1 - ε/2 <=> -1/m > -ε/2 <=> ε/2 > 1/m <=> 2/ε < m
Für alle m, die diese Ungleichung erfüllen, gilt also x > 1 - ε/2.
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Nun endlich; der Supremumsbeweis:
Sei ε>0 beliebig. Sei x aus B mit x = 1 - 1/m.
Wähle m > 2/ε. Dann ist x = 1 - 1/m > 1 - 1/(2/ε) = 1 - ε/2 > 1-ε.
Also ist 1 das Supremum von B.
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Überlegungen über das Infimum:
Man möchte x zwischen -1 und ε/2 - 1 quetschen. Dabei soll x aus B sein, also x=1/n - 1/m.
Setzt man m=1, kommt x für größer werdende n immer näher an -1. Irgendwann auch näher an -1 als ε/2 - 1 an -1 kommt.
Für m=1 hast du dann x=1/n - 1. Das soll kleiner als ε/2 - 1 sein.
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Dann: 1/n - 1 < ε/2 - 1 <=> 1/n < ε/2 <=> n > 2/ε.
Für alle n, die diese Ungleichung erfüllen, gilt also x < 1 - ε/2.
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Der Infimumsbeweis:
Sei ε>0 beliebig. Sei x aus B mit x = 1/n - 1.
Wähle n > 2/ε. Dann ist x = 1/n - 1 < 1/(2/ε) - 1 = ε/2 - 1 < ε - 1.
-1 ist also das Infimum von B.
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Mit diesen beiden neuen Wahlen von x findest für jedes ε>0 ein x aus B, sodass die Forderung gilt. Wie gesagt, deine Wahl von x lieferte nicht zwingend ein x aus B, meine schon.
Hallo,
in meinem Lehrbuch wird als Beispiel sup(0,1)=1 bewiesen. Das ging dort wie folgt:
a) 1 ist obere Schranke
b) Sei ε>0 beliebig. Ist ε<1, so ist x=1-ε/2>1-ε und x∈(0,1). Ist ε>=1, so ist x=1/2>1-ε und x∈(0,1.
Weiter heißt es:
Die etwas lästige Fallunterscheidung im Beispiel ist nötig, da 1-ε/2 für große ε nicht in (0,1) liegt. Stattdessen hätte man auch x=1-min{1/2, ε/2} für beliebiges ε>0 setzen können.
Andererseits ist es klar, dass es genügt, (b) für alle 0<ε<1 nachzuprüfen, denn schon daraus folgt, dass a kleinste obere Schranke ist. Statt 1 hätte hier eine beliebige positive Zahl stehen können. Man sagt, dass (b) nur für "hinreichend kleine ε>0" nachprüfen muss.
Geht das bei unseren Beispiel nicht auch für 0<ε<4?
Grüße!
Das Lehrbuchargument zieht hier nicht, weil dein x unabhängig vom Intervall, in dem du ε wählst, nicht zwingend in B liegt.
Deine Wahl von x ist auch unter extrem kleinen ε nicht zwingend in B.
Im Beispiel ist die Menge eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wenn man von 1 was extrem kleines abzieht, landet man bei einer reellen Zahl zwischen 0 und 1.
In der Aufgabe hingegen haben wir eine Teilmenge der rationalen Zahlen. Wenn ich da von 1 was abziehe, habe ich nicht zwingend eine rationale Zahl, wie das Beispiel ε=pi/1000 zeigt.
Denn angenommen, x=1 - (pi/1000)/2 läge in B. Dann gäbe es natürliche m,n mit
1/n - 1/m = 1 - (pi/2000)
<=> (m-n)/(mn) = (2000 - pi)/2000. Links steht was rationales, rechts was irrationales. Ein Widerspruch, also liegt x für das sehr kleine ε=pi/1000 nicht in B.
Also reicht es nicht, nur hinreichend kleine ε zu betrachten oder das Betrachtungsintervall sonst wie einzuschränken. Du musst mit x in einem Rutsch wirklich alle ε abholen. Mit deiner Wahl holst du zwar viele ε ab, aber nicht bspw. ε=5 usw.
Könnten wir nicht 1/2^n< ε/2 und 1/m< ε/2 wählen? Dann folgt insgesamt 1/2^n+1/m< ε
Wie kommst du auf 2^n im Zähler? Du musst schon Ausdrücke benutzen, die in der "Reinform" von x (also 1/n - 1/m) irgendwie vorkommen.
Edit:
Oder meinst du 1/n < ε/2 und 1/m < ε/2?
Dann wäre x = 1/n + 1/m < ε, aber du willst ja zeigen dass x>1-ε/2 bzw. x < ε/2 - 1 gilt.
Mit deiner Wahl wird x zwar beliebig klein, liegt aber nicht mehr zwischen 1 und 1-ε/2 bzw. zwischen -1 und ε/2 - 1.
sorry, ich habe mich gerade vertan. Die Lösung ist:
inf B = -1, kein Minimum, da 1/n-1/m>0-1 wegen 1/m <= 1 für alle n,m und man zu ε>0 ein n mit 1/n < ε, also 1/n-1/1<-1+ε wählen kann.
Naja, quasi das selbe hab ich ja auch gemacht. Hier wurde m auch auf 1 festgesetzt, wodurch -1/m zu -1 wird.
n wird gemäß n>1/ε gewählt. Ich hatte halt n>2/ε, aber das ist nicht schlimm. Ich habe n zwar größer gewählt, aber es ist trotzdem richtig. Wäre mein n kleiner als 1/ε, wäre mein Weg falsch.
Dieser Weg ist natürlich eleganter, lässt aber auch die dahinter steckenden Gedankengänge weg. Hier fällt n>1/ε einfach vom Himmel.
Du meinst das archimedische Axiom. Ja, ist es, habe ich nicht bedacht.
Sieht nicht falsch für mich aus. Vielleicht kann dir ein Community-Experte oder so mehr sagen🤔
Hallo Der1Streber, danke für deine Einschätzung. Vielleicht meldet sich ja noch ein Experte! LG
Anmerkung:
Floor macht das selbe wie ceiling, nur rundet floor ab statt auf.