Als Ergänzung zur Antwort von LoverOfPi:

Für eine Menge A und eine Relation

nennt man für a∈R die Menge

die Äquivalenzklasse des Elements a und schreibt dies kurz als [a]. In der Äquivalenzklasse des Elements a liegen also alle Elemente x, die zu a in Relation stehen. a nennt man hier auch den Repräsentanten der Äquivalenzklasse.

Nun lässt sich zeigen: Für beliebige m,n aus A gilt entweder:

[m] = [n]

oder



In Worten: Zwei beliebige Äquivalenzklassen sind entweder komplett identisch oder haben überhaupt keine Elemente gemeinsam.

Damit lässt sich dann zeigen, dass jede Äquivalenzrelation eine Darstellung der Menge A als Vereinigung aller Äquivalenzklassen ermöglicht.

Beispiel:

Sei A die Menge der natürlichen Zahlen und R die Relation x~y <=> x ≡ y mod 3
x ist also in Relation zu y, wenn x und y bei der Division mit 3 den selben Rest haben.

Dann ist bspw. [1] = {1, 4, 7, 10, 13...}, da diese Zahlen alle den Rest 1 bei der Division mit 3 haben.

Analog ist dann [2] = {2, 5, 8, 11, 14...} (Rest 2) und [3] = {3, 6, 9, 12, 15...} (Rest 0)

Du siehst, dass diese Mengen jeweils disjunkt sind; die Menge [1] hat kein Element mit [2] oder [3] gemein.

Nun sollte recht einfach ersichtlich sein, dass, wenn man die Mengen [1], [2] und [3] "zusammenpackt", wieder genau die Anfangsmenge, in diesem Fall also die Menge der natürlichen Zahlen herauskommt.

Das funktioniert mit jeder Äquivalenzrelation. Jede Äquivalenzrelation gibt eine Zerlegung vor (man sagt auch "induziert eine Zerlegung"), indem man die Menge in ihre Äquivalenzklassen bezüglich der Relation R zerlegt. Gleichsam gilt es auch rückwärts; jede Zerlegung der Grundmenge induziert eine Äquivalenzrelation.

Was kommt denn raus, wenn du auf beiden Seiten quadrierst? Erinnere dich daran, dass du am Ende zu zeigen hast, dass n eine Quadratzahl ist - kannst du den Ausdruck, der durch das Quadrieren entsteht, vielleicht als Quadratzahl darstellen?

Ich mache die erste Ableitung mal vor. Für alle Ableitungen brauchst du die Produktregel (u*v)'=u'*v+u*v'.

Hier sei nun u=-t+9 und v=e^(0,5t), somit ist u'=-1 und v'=0,5*e^(0,5t) (Kettenregel)

Nun einfach einsetzen:

f'(t)=u ' *v + u* v ' =-1*e^(0,5t)+(-t+9)*0,5*(e^0,5t)

Rechts multipliziere ich zunächst die 0,5 in die Klammer rein:

=-1*e^(0,5t)+(-0,5t+4,5)*e^(0,5t)

Nun klammere ich e^(0,5t) aus, da es in beiden Summanden vorkommt:

= (-1-0,5t+4,5) * e^(0,5t)

= (-0,5t+3,5) * e^(0,5t)

So geht es jetzt auch für die nächsten beiden Ableitungen.

_____

Zum Integral:

Es bietet sich an, hier die Klammer auszumultiplizieren und dann einzeln zu integrieren. Also:

∫ (-t+9)*e^(0,5t) dt = ∫ -t*e^(0,5t) dt + ∫ 9*e^(0,5t) dt

Das zweite Integral ist einfach: Bei der Ableitung käme ja ein 0,5 als Multiplikation rein, beim Integrieren muss man es genau rückwärts machen, also einfach durch 0,5 teilen (was das selbe ist, wie mal 2 zu rechnen).

[Wenn dir das als Argumentation zu fadenscheinig ist, kann man es auch über die Integralsubstitution machen. Setzt man nämlich u=0,5t, so ist nach Leibniz-Schreibweise die Ableitung du/dt = 0,5 bzw. du/0,5 = dt bzw. 2du = dt.

Dann kann man ∫ 9*e^(0,5t) dt zu ∫ 9 e^u * 2du umschreiben, was dann ∫ 18 e^u du ist, und da die Stammfunktion der e-Funktion wieder die e-Funktion ist, hat man dann insgesamt ∫9*e^(0,5t) = 18 * e^(0,5t)]

Damit ergibt sich dann als Zwischenergebnis:

∫ (-t+9)*e^(0,5t) dt = - ∫ t*e^(0,5t) dt + 18 * e^(0,5t)

Jetzt muss man also nur noch ∫ t*e^(0,5t) dt herausfinden. Hier führt leider nur die partielle Integration zum Ziel. Diese besagt für Funktionen g und f:

∫ f(x) * g ' (x) dx = f(x)*g(x) - ∫ f ' (x) * g(x) dx

Das ist quasi die Umkehrung der Produktregel. Im Klartext: Wenn man eine Funktion besonders leicht integrieren und die andere besonders leicht ableiten kann, so kann man das Integral ihrer Multiplikation auch leicht errechnen.

Hier haben wir nun den Fall t * e^(0,5t), wovon wir das Integral haben wollen. Wenn wir nun f=t und g=2*e^(0,5t) [und somit g ' = e^(0,5t)] definieren, so haben wir in dem Integral, das wir ja nun berechnen wollen, nämlich ∫ t*e^(0,5t) dt, die Form ∫ f * g'. Dasd man f und g so definiert, ist Erfahrungssache. Würde man es anders herum definieren, wäre das Integral im nächsten Schritt noch schwieriger.

Das kann man jetzt alles einsetzen:

∫ t*e^(0,5t) dt = t * 2 * e^(0,5t) - ∫ 1 * 2 * e^(0,5t) dt

= 2t * e^(0,5t) - ∫ 2*e^(0,5t) dt

Das rechte Integral ist jetzt wieder sehr einfach. Auch wieder nur durch 0,5 teilen:

=2t * e^(0,5t) - 2/0,5 * e^(0,5t)

=2t * e^(0,5t) - 4 *e^(0,5t)

Und jetzt wieder den e-Term ausklammern:

=(2t-4)*e^(0,5t)

Damit haben wir nun insgesamt ∫ t*e^(0,5t) dt = (2t-4)*e^(0,5t) und können somit wieder unser Ursprungsintegral berechnen. Damit waren wir ja bis

∫ (-t+9)*e^(0,5t) dt = - ∫ t*e^(0,5t) dt + 18 * e^(0,5t) gekommen, und wenn wir nun ∫ t*e^(0,5t) dt = (2t-4)*e^(0,5t) da einsetzen, haben wir endlich insgesamt:

∫ (-t+9)*e^(0,5t) dt = -(2t-4)*e^(0,5t) + 18*e^(0,5t)

=(-2t+4)*e^(0,5t) + 18*e^(0,5t)

Jetzt klammer ich noch ein letztes mal e aus:

= (-2t+22) * e^(0,5t)

Du musst hinten schon die selben Verbindungslinien nehmen, wie die zwischen A und B und zwischen B und C. Ansonsten kommt, wie du ja siehst, nur Unsinn raus. Richtig sieht es so aus:

Guck doch einfach mal auf die Definition, die du letztens selbst gepostet hast:

Definitionsgemäß hast du hier mit a_n=(1+1/n)²+n², b_n=n² und C=4 eben, dass deine Folge höchstens so schnell wie n² wächst:



Die Ableitung von cos ist sin und die von sin ist -cos.

Damit ist f'(x)=2*sin(x)-(-cos(x)),

also f'(x)=2*sin(x)+cos(x)

Edit:

Richtig wäre:

f'(x)=-2*sin(x)-cos(x)

Der Wachstumsfaktor berechnet sich ja gemäß der Formel 1+p/100, wobei p der Prozentsatz ist, den du suchst. Dann ist also 0,917=1+p/100, woraus -0,083=p/100 folgt. Daraus folgt dann wiederum -8,3=p. Es zerfallen pro Zeiteinheit t also 8,3% des Stoffes, somit hast du noch 100%-8,3%=90,7% übrig.

Naja, der Tipp gibt einem eigentlich schon die Richtung vor. Erstmal bringt man die 2 mit Minus rüber, dann hat man 2*Wurzel(2x+1)=x-2. Um die Wurzel wegzukriegen, muss man quadrieren, also auf beiden Seiten hoch 2 rechnen. Die Wurzel hebt sich dann auf, aus der 2 vor der Wurzel wird 'ne 4 (denn 2²=4) und rechts hat man (x-2)². Also:

4*(2x+1)=(x-2)²

Jetzt wendest du rechts die zweite binomische Formel an, schiebst dann alles auf eine Seite und rechnest die Lösung mit der Mitternachtsformel aus.

[5] hat die Ordnung 4 bei (Z6,*)

Nö. Die Ordnung ist das kleinste k, für das [5]^k=[1] in Z6 gilt. [5]^4 ist zwar [1], aber [5]² ist auch [1]. Und da 2 der kleinste Exponent ist, der als Fünferpotenz in Z6 [1] ergibt, hat [5] die Ordnung 2.

Gemäß der Aussage im Bild ist dann <[5]>={ [1], [5] }

Ich kann ja nicht 2x 1 und 2x 5 haben oder?

Doch. Man kann Elemente von Mengen auch mehrmals aufzählen, aber das ist nicht sehr sinnvoll. Du könntest genau so gut auch <[5]>={ [1], [5], [5], [1], [1], [5] } oder so schreiben.

"Hoch 3" heißt ja, dass du 4x drei mal mit sich selbst mal nimmst. Also:



Hier ist gemeint, dass sich das Ufo von A nach Z ("in Richtung Z") bewegt. Die Gerade ist also durch diese beiden Punkte definiert und der Richtungsvektor ist somit der Verbindungsvektor von A nach Z, also OZ-OA.

Das andere Beispiel hätte ich auch so gedeutet, dass von A nach (x1,x2,x3) geflogen wird. Da hätte ich jetzt nicht einfach (x1,x2,x3) als Richtungsvektor genommen, sondern auch den Verbindungsvektor.

Ein Bruch ist genau dann Null, wenn der Zähler Null ist. Du brauchst also nur den Zähler zu betrachen, und der ergibt nur Null, wenn x=0 ist. Den e-Term kannst du da getrost ignorieren; e hoch irgendwas kann eh nie Null ergeben, egal was im Exponenten steht.

Gehen wir mal davon aus, dass der obere Rand des Footballs wie eine Parabel geformt ist.

Lege des Koordinatensystem so, dass der Ursprung in der linken Spitze des Balls liegt. Aus dem Querumfang von 54cm erhält man gemäß der Formel U=2π*r einen Radius. Dieser Radius ist die Länge von der Mittellinie des Balls bis hoch zum höchsten Punkt des Ballrands. Dieser Radius liefert dir in Kombination mit der Lage des Koordinatensystems den Scheitelpunkt der Parabel.

Stelle nun erst einmal die Scheitelpunktform auf. Diese wird noch nicht eindeutig sein, da dir der Öffnungsfaktor a der Parabel fehlt. Um diesen herauszufinden, kannst du einen Punkt einsetzen, der auf der Parabel liegt und die Gleichung nach a auflösen. Damit erhältst du dann deine Funktion f(x), die den Ballrand beschreibt.

Nun musst du das ganze nur noch in die bekannte Formel einsetzen und berechnen:



a und b sind hierbei so zu wählen, dass sie zur Aufgabe passen.

"Math Error" bedeutet, dass der Ausdruck, den du eingegeben hast, mathematisch nicht existiert oder ähnliches. Beispielsweise wird dir eine DIvision mit 0 diesen Fehler ausspucken.

"Syntax Error" hingegen bedeutet, dass der Taschenrechner den Ausdruck nicht auswerten kann, da man das entsprechende Kommando falsch benutzt hat. Wenn der Rechner bspw. zwei Werte erwartet, man aber nur einen eingibt, wird Syntax Error angezeigt.

Hier musst du zeigen, dass die Nullabbildung in der Menge liegt. Die Nullabbildung ist genau das, was man sich darunter vorstellt: f(x)=0 für alle x aus dem Definitionsbereich von f.

Die Frage ist also: Gilt f(n+2)=f(n+1)+f(n) für die Nullabbildung? Wenn ja, dann ist 0∈W3.

Das, was du als "zu zeigen" betitelt hast, ist eigentlich der Beweis. Zu zeigen ist per Definition erst einmal nur, dass wenn f und g in der Menge liegen, auch f+g in der Menge liegt. Also:

Gilt (f+g)(n+2) = (f+g)(n+1) + (f+g)(n) ?

Das, was du da schon stehen hattest, ist dann der Beweis, es fehlen nur ein paar Schritte. Anfangs musst du bspw. (f+g)(n+2) auseinander ziehen, um f(n+2)+g(n+2) zu erhalten. Jetzt weißt du ja, dass f und g in der Menge liegen, also kann man f(n+2) und g(n+2) entsprechend umschreiben. Am Ende zieht man die Funktionen dann wieder zusammen, um die rechte Seite der Gleichung zu erhalten.

Hier ist nun für ein beliebiges k aus Q und f aus der Menge zu zeigen, dass

(k*f)(n+2)=(k*f)(n+1)+(k*f)(n)

gilt. Hierzu kannst du nun wieder links die Klammern auseinander ziehen und versuchen, auf die rechte Seite der Gleichung zu kommen.

Es geht auch nicht darum, dass die Paare aus der Potenzmenge kommen sollen. X und Y sind erst einmal nur Mengen aus der Potenzmenge mit gewissen Eigenschaften; nämlich dass Y eine Teilmenge von M (ist klar, weil Y ja aus der Potenzmenge stammt) ist und X eine Teilmenge von Y ist. Du hast also als Bedingung:



Die Mengen X und Y aus P(M), die diese Eigenschaft erfüllen, sollen nun eben in dieser Relation enthalten sein.

Um (X,X)∈R zu zeigen, musst du hier nun also "beweisen", dass X eine Teilmenge von M ist und dass X eine Teilmenge von X ist. Also:



Das ergibt sich eigentlich unmittelbar aus der Definition der Potenzmenge.

Die Antwort von Koston85 (bzw. die weitergehenden Kommentare) sind nur die eine Hälfte. Ich hole mal etwas aus:

Der Betrag macht, salopp gesagt, alles positiv, was in ihm steht. Beispielsweise gilt |-27|=27. Wenn das, was drin steht, bereits positiv ist, ändert der Betrag nichts. So gilt dann beispielsweise |3|=3. Mehr passiert da erst mal nicht.

Auf anschaulicher Ebene gibt der Betrag einer Zahl an, wie weit sie auf dem Zahlenstrahl von der 0 entfernt. Die Zahl 3 hat, wie oben gesagt, den Betrag 3, weil sie eben genau 3 Einheiten von der 0 entfernt ist. Analog hat -27 den Betrag 27, da man ja von der 0 aus 27 Einheiten nach links gehen muss, um bei -27 zu landen.

Sobald da aber Sachen mit x vorkommen, muss man das ganze etwas präziser machen:

Im Allgemeinen definiert man den Betrag hierzu als Funktion. Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, ob man Funktionen vor oder nach dem Lösen von Gleichungen behandelt, deshalb hier als Kurzerklärung: Eine Funktion ist eine Rechenvorschrift, die jeder Zahl x einen Wert y zuweist. Das ist formal nicht ganz vollständig, aber das reicht an der Stelle. Eine Funktion sagt also quasi, wie man mit einer Zahl rechnet, die man ihr vorgibt.

Nun definiert man den Betrag so:

Soll heißen: Wenn die Zahl x, die ich in den Betrag packe, positiv ist, so passiert gar nichts. Als Ergebnis erhält man einfach die selbe Zahl zurück. Beispielsweise ist, wie oben schon besprochen, |3|=3, weil die 3, die im Betrag steht, ja schon positiv ist. Ist sie negativ, so erhält man das Negative dieser Zahl zurück. Wenn ich beispielsweise wie oben -27 in den Betrag packe, erhalte ich als Ergebnis -(-27). Es gilt doch aber "Minus mal Minus ist Plus", also ist -(-27) nichts anderes als 27. So wird die -27 auf mathematischer Ebene dann positiv gemacht.

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Der Ausgangszustand ist ja |3/10 * x - 4/5| = 10. Anschaulich sind hier also die x-Werte gesucht, die man in den Term 3/10 * x - 4/5 einsetzen muss, damit das Ergebnis des Terms den Abstand 10 zur 0 hat.

Im Prinzip wendet man hier nun die Definition des Betrags an:





Sieht jetzt erstmal kompliziert aus, ist aber eigentlich nicht so schwierig. Man muss hier jetzt eben zwei Fälle betrachten.

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 In diesem Fall darf man die Betragsstriche dann per Definition des Betrags einfach weglassen. Das ist, was Koston85 angesprochen hat.

Bevor man das tut, sollte man aber schauen, wann dieser Fall überhaupt gilt! Es kann nämlich vorkommen, dass dieser Fall nie eintritt, dann muss man ihn natürlich nicht betrachten. Genau so gut kann es vorkommen, dass eine Lösung, die wir erhalten, der Bedingung des Falls widerspricht.

Im Klartext bedeutet dass, die "Fallbedingung" nach x aufzulösen:

3/10 * x - 4/5 ≥ 0 | +4/5

3/10 * x ≥ 4/5 | : (3/10)

x ≥ 8/3

Wenn x also größer oder gleich 8/3 ist, dann ist 3/10 * x - 4/5 größer oder gleich 0 und wir dürfen die Striche in der eigentlichen Gleichung weglassen:

3/10 * x - 4/5 = 10 | + 4/5

3/10 * x = 54/5 | :(3/10)

x = 36

Für x=36 ist die Gleichung also schon mal erfüllt. Jetzt müssen wir schauen, ob sich das mit unserer Fallbedingung verträgt. Laut dieser muss x ja größer als 8/3 sein, und das ist hier der Fall. Also ist x=36 die erste Lösung.

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 In diesem Fall darf man die Betragsstriche nicht weglassen, sondern muss per Definition ein Minus vor den Term setzen. Dazu aber gleich mehr. Wir gucken hier erstmal wieder, wann dieser Fall einsetzt:

3/10 * x - 4/5 < 0 | +4/5

3/10 * x < 4/5 | : (3/10)

x < 8/3

Ist genau der selbe "Schwellenwert" wie vorhin, aber das ist keine große Überraschung, da der Term, wenn man ihn in ein Koordinatensystem einträgt, eine Linie ist. Vor x=8/3 ist die Linie eben unter der x-Achse (also negativ), danach positiv.

Jetzt wieder zur Gleichung. Wie gesagt muss man nun ein Minus vor den Kram setzen, da wir im zweiten Fall sind:

-(3/10 * x - 4/5) = 10

Auch hier löst man nun wieder auf. Hier stört nun eben das Minus, aber das bekommt man weg, indem man die Gleichung mit -1 mal nimmt:

3/10 * x - 4/5 = -10 | +4/5

3/10 * x = -46/5 | :(3/10)

x = -92/3

Die Zahl x=-92/3 löst die Gleichung also auch. Jetzt gucken wir nochmal, ob das mit der Bedingung des Falls auch passt: Laut Bedingung muss x kleiner als 8/3 sein, und das ist -92/3 mit Sicherheit, also haben wir hier unsere zweite Lösung und die Aufgabe ist insgesamt fertig.

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Es kann wie gesagt durchaus vorkommen, dass sich Lösungen nicht mit den Bedingungen der Fälle vertragen. Das muss man deshalb immer nachprüfen. Hätten wir jetzt im zweiten Fall zum Beispiel als Lösung x=2 heraus, so wäre es nur eine Scheinlösung, denn x muss laut der Bedingung auch kleiner als 8/3 sein.

Wenn die Funktion bei x=1 nicht stetig ist, ist sie dort auch nicht differenzierbar; soll heißen, bei Definitionslücken existiert die Ableitung nicht. Insofern musst/kannst/darfst du x=1 nicht betrachten. Du kannst höchstens die links- und rechtsseitigen Grenzwerte der Ableitung bilden.

Stammt der Begriff daher, dass man es auch als Bruch auffassen kann, also a = 0/b und somit sagt, dass es keine a,b =/= 0 gibt (für b sowieso) die das erfüllen, es also keine "Nullteiler" gibt?

Nee, nicht wirklich. 0/b bzw. 0*b^(-1) setzt voraus, dass b ein inverses Element besitzt. Das ist ja gerade das, was Ringe von Körpern unterscheidet: Ringelemente haben nicht zwingend inverse Elemente.

[ Zudem legt 0/b eine Struktur nahe, die in gewisser Weise der der reellen Zahlen entspricht, nämlich dass die links- und rechtsseitige Multiplikation gleich ist. Das ist in Körpern zwar so, aber beispielsweise im Matrizenring ist das nicht so. Aus der Gleichung A=B*C für Matrizen A,B,C (B sei invertierbar) folgt erst einmal nur A=C*B^(-1) und nicht A=B^(-1) * C. Man würde also nicht A=C/B schreiben, weil daraus nicht klar wird, "von welcher Richtung" multipliziert wird.]

Der Begriff des Nullteilers geht einfach aus der formalen Definition von Teilbarkeit hervor: Ein Ringelement a ist durch ein Ringelement b teilbar, wenn es ein Ringelement c gibt, dass a=b*c erfüllt.

Wenn wir jetzt 0=a*b haben, würden a und b ja definitionsgemäß Teiler der Null sein. In Körpern will man die eben nicht haben (bis auf 0 selbst, aber es ist eh Definitionssache, ob man 0 als Teiler der 0 zulässt).

Wenn es dann aber Nullteiler gibt, dann ist der Ring kein Körper und es gibt (unter Umständen[?]) überhaupt keine Inversen, also keine Teiler. 

Ist eine Zahl a ein Nullteiler, so ist a nicht invertierbar; das solltest du für dich mal beweisen, vielleicht wird die Sache dann klarer.
Insbesondere ist der Ring dann kein Körper, wie du schon sagtest.
Anders herum gilt das aber nicht: Nicht jeder Nicht-Nullteiler ist invertierbar und nicht jeder nullteilerfreie Ring ist ein Körper. Versuche hierzu mal Beispiele zu finden und argumentiere, was für die Körpereigenschaften noch fehlt.

1/x-1/y = (y-x)/(xy) = -(x-y)/(xy)

Damit gilt dann

|f(x)-f(y)|=| 1/2 (x-y) - (x-y) / (xy) |

Hilft das vielleicht schon?