Ist Supremum und Infimum das gleiche wie Maximum und Minimum?
Oder wo sind da die Unterschiede?
3 Antworten
Das ist nicht das Gleiche.
Maximum/Minimum: größtes/kleinstes Element einer Menge.
Supremum/Infimum: größte/kleinste Grenze der Menge (muss nicht enthalten sein).
Beispiel: Betrachte die Menge 𝐴 = (0, 1), also alle Zahlen zwischen 0 und 1, ohne 0 und 1.
Diese Menge hat
1. Kein Maximum und kein Minimum.
2. Supremum = 1, obwohl 1 nicht enthalten ist und Infimum = 0, obwohl 0 nicht enthalten ist.
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Alles Supremum und Infimum müssen nicht zu der Menge gehören, die sie begrenzen. Maximum und Minimum dagegen schon.
Das Maximum ist das größte Element der Menge.
Das Supremum ist die kleinste untere Schranke einer Menge. Obere Schranken von Mengen sind alle Elemente, welche größer sind als jedes Element der Menge. Kleinste obere Schranke heißt also: zu jeder Zahl, die nur minimal kleiner ist als das Supremum, gibt es ein Element in der Menge, das größer ist
Das Supremum selbst muss nicht Teil der Menge sein. Wenn es aber in der Menge liegt, genau dann ist es ein Maximum. Jedes Maximum ist also zugleich Supremum.
Beispiel: die Menge aller Zahlen die kleiner als 1 sind, hat kein Maximum. Jedoch hat sie das Supremum 1. Denn sie ist größer als jedes Element in der Menge, aber wenn man nur minimal kleiner wird als die 1, dann ist diese Zahl in der Menge.