Beschränkte Menge ohne Supremum und Infimum?
Sei A eine nicht leere Teilmenge von X.
Warum muss A nicht zwingend Supremum und Infimum besitzen? Kann mir jemand ein Beispiel für eine Menge A ohne sup und inf nennen?
5 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ob A ein Supremum besitzt oder nicht, hängt davon ab, ob Körper vollständig ist oder nicht. Im Körper der reellen Zahlen besitzt A in jedem Fall ein Supremum, im Körper der rationalen Zahlen nicht unbedingt.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Nein, in der Menge enthalten muss es sowieso nicht sein. Betrachte den Körper der rationalen Zahlen und die Menge aller 1-1/x, x>0, das Supremum ist 1, obwohl 1 nicht Element dieser Menge ist. Die Menge aller x mit x^2 <2 hat aber im Körper Q überhaupt kein Supremum, die Menge Q ist nicht vollständig.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/SlowPhil/1649031375350_nmmslarge__455_721_1364_1364_fdb83a409a351f2b82eb7387bbd682d9.jpg?v=1649031376000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/7_nmmslarge.png?v=1438863662000)
Gesamtmenge X: Menge der reellen Zahlen
Teilmenge A: ein beliebiges beidseitig offenes Intervall
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ein beidseitig offenes Intervall (a,b) auf den reellen Zahlen besitzt das Infimum a und das Supremum b.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/7_nmmslarge.png?v=1438863662000)
A hat weder Supremum noch Infimum (als Elemente von A). So hatte ich die Frage verstanden.
Natürlich gehörten die Grenzen von A zur Menge der Reellen Zahlen, also zur Obermenge X.
("Satz von der oberen Grenze für die reellen Zahlen")
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Es gibt aber auch geordnete Mengen, die kein Supremum und/oder Infimum einer beschränkten Teilmenge enthält:
Berüchtigtes Beispiel:
Grundmenge X = Menge der rationalen Zahlen ℚ
Teilmenge A = {x ∈ ℚ | x^2 < 2}
(oder auch - ergibt dieselbe Menge - A = {x ∈ ℚ | x^2 ≤ 2} )
![](https://images.gutefrage.net/media/user/ausdertonne/1470834733007_nmmslarge__205_85_221_221_6eb59f58f159564b45feec55b646ed16.jpg?v=1470834735000)
Definiere "besitzen".
Sollen sup und inf Elemente der Menge sein?
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/ausdertonne/1470834733007_nmmslarge__205_85_221_221_6eb59f58f159564b45feec55b646ed16.jpg?v=1470834735000)
Dann kannst du das offene Intervall (a,b) mit a<b als Beispiel nehmen
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/12_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Was meinst du mit X? Jede beschränkte Teilmenge des |R ^ n besitzt ein Supremum und ein Infimum.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/PhotonX/1444747801_nmmslarge.jpg?v=1444747801000)
Ist denn X überhaupt eine geordnete Menge?
hmm, dachte ich auch erst, aber siehe video