Bestimmen, ob eine Teilmenge der Definitionsmenge einer Funktion offen ist?
Hallo und frohe Weihnachten, wisst ihr, wie man prüft, ob eine Teilmenge der Definitionsmenge einer Funktion offen ist?
Hier mal ein Beispiel:
Ich vermute, dass die Offenheit aus der Stetigkeit der Funktion folgt - kann jemand mit dem Epsilon-Delta-Kriterium denn zeigen, dass alle Werte in der beschriebenen Teilmenge der Definitionsmenge innere Punkte sind? Dann wäre die Menge ja offen. Ich weiß nicht, wie ich das beweisen kann.
Ist das denn im Allgemeinen die richtige Herangehensweise für solche Aufgaben? Noch eine Zusatzidee von mir: stünde da jetzt ein "kleiner gleich" statt "<" wäre es doch nicht mehr offen, oder? Dann wären die x-Werte, die genau den Funktionswert 7 haben, keine inneren Punkte (diese x-Werte existieren ja laut Zwischenwertsatz). Da weiß ich aber auch nicht, wie ich das beweise.
Vielen Dank im Voraus!
1 Antwort
Ja, das liegt an der Stetigkeit. Urbilder offener Mengen sind wieder offen (wenn die Funktion stetig ist). Hier geht's um das Urbild von (7, unendlich). Das Urbild von [7, unendlich) wäre abgeschlossen.
Ja, den gibt es - da ich jetzt aber gerade zu faul bin, bekommst du nur einen Link dahin: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Topologie:_Stetigkeit:_Charakterisierung_Stetigkeit
Gibt es einen formalen beweis für den Satz "Urbilder offener Mengen sind bei stetigen Funktionen wieder offen"?