Wie bestimmte ich Supremum, Infimum, Max und Min?
Hallo,
ich soll hier das Infimum, Supremum ,Maximum und Minimum bestimmten falls es existiert.
M1 :={x∈R:0≤|x−2|−|x|<2},
Ich weiß das ich Fallunterscheidungen machen muss, ich verstehe aber nicht genau wieso, und wie genau ich das mache.
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte, stehe total auf dem Schlauch
2 Antworten
Ich weiß das ich Fallunterscheidungen machen muss, ich verstehe aber nicht genau wieso
weil die Betragsfunktion das Vorzeichen eines Argumentes <= 0 umdreht, eines Argumentes >= 0 aber nicht
|x−2| = x-2 für x>=2
|x−2| = -x+2 für x<=2
|x| = x für x>=0
|x| = -x für x<=0
Damit erhält man folgende 3 Fallunterscheidungen:
1) x<=0: |x−2| = -x+2 und |x| = -x
2) 0<=x<=2: |x| = x und |x−2| = -x+2
3) x>=2: |x| = x und |x−2| = x-2
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1) x<=0: |x−2| = -x+2 und |x| = -x:
0 ≤ |x−2| − |x |< 2 ⇔ 0 ≤ -x+2− (-x) <2 ⇔ -2 ≤ 2 <2 ............. falsche Aussage (2<2), daher keine Lösung
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2) 0<=x<=2: |x| = x und |x−2| = -x+2
0 ≤ |x−2| − |x |< 2 ⇔ 0 ≤ -x+2 − x < 2 ⇔ -2 ≤ -2x < 0 ................... /-2
1 >= x > 0 ⇔ x <= 1 und x>0 ............. Lösung = (0, 1]
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3) x>=2: |x| = x und |x−2| = x-2
0 ≤ |x−2| − |x |< 2 ⇔ 0 ≤ x-2 − x < 2 ⇔ 0 ≤ -2 < 2............. falsche Aussage (0 ≤ -2), daher keine Lösung
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Lösung = (0, 1]
Infimum = 0, Supremum = 1, Maximum = 1, Minimum gibt es nicht
Minimum gibt es nicht weil die 0 "nicht mit eingeschlossen" ist
ja, so ist es, sehr gut :)
und weil 1<=x<0
da hast du dich vielleicht nur vertippt: müsste heißen 0<x<=1 :)
Maximum ist 1 weil die ja quasi "mit eingeschlossen" ist wegen dem <=
ja genau, super :)
Könnte ich dir noch zu einer Aufgabe eine Frage stellen? : M1:= {x∈R: x^2+(2/x^2+2) ≤1} ich habe jetzt alles auf die linke Seite gebracht und aufgelöst.Dann bleibt übrig : x^4+ x^2 ≤0 ⇔ x=0. Ich würde jetzt sagen, dass die 0 nach oben beschränkt ist (wegen dem <=0 ), und das Supremum bei 0 liegt. Die Lösung ist aber infM1 =minM1 =0=maxM1 =supM1. Wie kann das sein?
meinst du x^2+2/(x^2+2)≤1, das hat tatsächlich die Lösung x=0, siehe
https://www.wolframalpha.com/input/?i=+x%5E2%2B%282%2F%28x%5E2%2B2%29%29+%E2%89%A41
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du schreibst aber x^2+(2/x^2+2) ≤1, das bedeutet eigentlich:
x^2 + (2/x^2) +2 ≤ 1 und das hat keine Lösung, siehe:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=+x%5E2%2B%282%2Fx%5E2%2B2%29+%E2%89%A41
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vermutlich meinst du x^2+2/(x^2+2)≤1, oder?
Ich schaue später nochmal auf die Seite ......
Oh ja, entschuldige, ich meine natürlich dass was du geschrieben hast. Da hab ich mich wohl vertippt 😅
x^4+ x^2 ≤0 ⇔ x=0
ja, sehr gut :)
Ich würde jetzt sagen, dass die 0 nach oben beschränkt ist (wegen dem <=0 )
das <= interessiert ja jetzt nicht mehr, jetzt interessiert nur noch die Menge {0}, denn du hast ja gezeigt, dass diese Menge {0} gleich der Menge {x∈R: x^2+2/(x^2+2)≤1} weil für x∈R: x^2+2/(x^2+2)≤1⇔ x=0
und bei der Menge M1= {0} ist ja infM1 =minM1 =0=maxM1 =supM1
Alles klar, vielen Dank! ich schreibe demnächst Mathe Klausur und du hast mich wirklich gerettet :D
Danke, das freut mich :)) Alles Gute für die Klausur
Hallo,
Sei f(x) := |x-2| - |x| . Dann ist M1 = {x ∈ ℝ : 0 ≤ f(x) < 2} .
Ich weiß das ich Fallunterscheidungen machen muss, ich verstehe aber nicht genau wieso
Man macht Fallunterscheidungen, um den Term f(x) ohne Betragsstriche schreiben zu können. Dafür muss man die Definition der Betragsfunktion kennen und anwenden.
a) Ist x < 0 , dann gilt |x| = -x .
Dann ist aber auch x - 2 < 0 , d.h. |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2 .
Für diese x gilt also also
f(x) = -x + 2 - (-x) = -x + 2 + x = 2
b) Ist 0 ≤ x < 2 , dann gilt x - 2 < 0 , also |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2 ,
und |x| = x . Insgesamt gilt für diese x
f(x) = -x + 2 - x = -2x + 2
c) Ist x ≥ 2 , dann ist x - 2 ≥ 0 und x > 0 , d.h. es gilt
|x - 2| = x - 2 , und |x| = x , d.h. für diese x gilt
f(x) = x - 2 - x = -2
Wenn man möchte, kann man nun Graph(f) zeichnen:
Wir wollen wissen, für welche x die Ungleichung 0 ≤ f(x) < 2 gilt.
Den Fall a) können wir ausschließen, denn dort gilt f(x) = 2
Den Fall c) können wir auch ausschließen, denn dort gilt f(x) = -2 < 0 .
Wir brauchen also nur den Fall b) zu betrachten, d.h. 0 ≤ x < 2
Fûr diese x lösen wir die Ungleichung (*) 0 ≤ f(x) < 2 :
0 ≤ -2x + 2 < 2
Addition der Ungleichung mit -2 ergibt
0 - 2 ≤ -2x + 2 - 2 < 2 - 2 <=> -2 ≤ -2x < 0
Multiplikation mit -1/2 ergibt
(-2)•(-1/2) ≥ (-1/2)•(-2x) > 0•(-1/2) <=> 1 ≥ x > 0 <=>
0 < x ≤ 1
Diese x sind die Lösung der Ungleichung (*), d.h. es gilt
M1 = ]0, 1]
was auch die obige Grafik bestätigt.
Gruß
Wirklich sehr sehr gut erklärt! Vielen Dank!! Woher weiß ich jetzt aber was genau das Minimum bzw Maximum und Infimum bzw Supremum ist? Wie kann ich das erkennen?
Ja stimmt, das habe ich vergessen zu schreiben, sorry.
Die Menge M1 hat das Maximum 1, und das Infimum 0.
Das Maximum ist 1, weil 1 zur Menge M1 dazugehört.
0 ist kein Minimum, weil die Null nicht zu M1 dazugehört, aber Null ist die größte untere Schranke von M1.
Dankesehr!! hat mir richtig geholfen:) Minimum gibt es nicht weil die 0 "nicht mit eingeschlossen" ist und weil 1<=x<0 Maximum ist 1 weil die ja quasi "mit eingeschlossen" ist wegen dem <= , hab ich das richtig verstanden?