Streckung und Verschiebung der Normalverteilung (Gauß)?

Wie wirken sich der Erwartungswert µ bzw. die Standardabweichung

$\sigma$ auf die Glockenkurve aus?

Hier meine Überlegung:
Die Standardabweichung steht ja "zweimal" in der Gleichung

$\phi\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\cdot\sqrt{2\pi}}\cdot e^{\left(-\frac{\left(x-µ\right)^2}{2\sigma^2}\right)}$

. Das "erste" Sigma bewirkt eine Streckung in y-Richtung mit dem Faktor

$\frac{1}{\sigma}$

. Beim "zweiten" Sigma bin ich mir unsicher. Ich vermute, dass der Graph mit dem Faktor

$\frac{1}{\sqrt{\sigma}}$ in x-Richtung gestreckt wird.

Der Erwartungswert verschiebt den gesamten Graphen einfach in x-Richtung um µ.
Eine Erklärung zum zweiten Sigma wäre super - Dankeschön im Voraus!

Answer 1

[YBCO123]

Du hast es schon erfasst: der Erwartungswert verschiebt auf der x-Achse, die Standardabweichung streckt: Je kleiner σ ist, umso größer ist der Wert der Glockenkurve bei x= μ und umso schmäler wird die Glocke.

Comments

[PWExp]

Dankeschön. Mir ging es aber um den genauen Faktor, da habe ich Schwierigkeiten, den zu erfassen. Also wie dieser konkret lautet, so wie ich es oben probiert habe?
Bei der Überlegung hatte ich mich an quadratischen Funktionen orientiert und dies analog übertragen.

[YBCO123]

@PWExp

Welchen Faktor meinst du? Die Höhe der Glocke? Die geht über 1/σ: Wird σ verdoppelt, ist die Höhe halb so groß. Der Streckungsfaktor entlang x Achse geht auch mit σ: wird σ verdoppelt, wird die Kurve doppelt so breit um den Erwartungswert.

[PWExp]

@YBCO123

ja, exakt, es geht um den Streckfaktor in x-Richtung. Ich hätte nicht vermutet, dass es mit dem Faktor \sigma gestreckt wird.

[YBCO123]

@PWExp

ja, nur es ist Eine Streckung in Bezug auf x=μ, nicht in Bezug auf x=0.

Es muss ja so sein: wenn die Höhe größer wird, muss die Breite kleiner werden, denn die Fläche ist ja immer genau eins.

[PWExp]

@YBCO123

ja, das stimmt - daran habe ich mich auch bisher immer probiert zu orientieren. Dadurch, dass jedoch zweimal \sigma auftaucht, ist es für mich nicht ganz so einfach. Danke für deine Hilfe!