Normalverteilung - Wenn Erwartungswert und Standardabweichung unbekannt sind, wie löst man dann die Gleichung?

Es geht um das folgende Beispiel:

"Die Dicke von Aluminiumblechen einer Produktionsserie ist annähernd normalverteilt. Berechne der Erwartungswert und die Standardabweichung der Normalverteilung, wenn 12% der Bleche dünner als 1,9mm und 20% der Bleche dicker als 2,05mm sind.

Laut dem Lösungsbuch ist:

der Erwartungswert = 1,987...mm

die Standardabweichung = 0,074...mm lang.

Mich interessiert es nur, wie man auf diese Zahlen kommt. Was ich schon versucht habe ist, dass ich beide Terme auf sigma (Standardabweichung) umstelle und dann die Gleichung löse, aber da kommt einfach nicht das Richtige raus.

Falls jemand den Rechenweg kennt, bitte teilen.

Danke

Answer 1

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Da 20 % der Bleche dicker als 2,05 mm sind, bedeutet dies, dass 80 % der Bleche dünner als oder höchstens gleich 2,05 mm sind.

Verteilungsfunktion der Normalverteilung :

f(x; μ; σ) = (1 / 2) * (1 + erf((x - μ) / √(2 * σ ^ 2))

Wobei erf(...) die Fehlerfunktion ist, manche Taschenrechner, Webseiten, Tabellen oder Computerprogramme haben die.

Gleichungssystem aufstellen :

I.) (1 / 2) * (1 + erf((1.9 - μ) / √(2 * σ ^ 2))) = 0.12

II.) (1 / 2) * (1 + erf((2.05 - μ) / √(2 * σ ^ 2))) = 0.80

Dieses Gleichungssystem lösen :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+(1+%2F+2)+*+(1+%2B+erf((1.9-%CE%BC)+%2F+%E2%88%9A(2+*+%CF%83+%5E+2)))+%3D+0.12++and+(1+%2F+2)+*+(1+%2B+erf((2.05-%CE%BC)+%2F+%E2%88%9A(2+*+%CF%83+%5E+2)))+%3D+0.80

μ = 1.9874 und σ = ± 0.0743823

Varianz = σ² = 0.00553272655329

Die berechneten Lösungen im Lösungsbuch stimmen also, sind lediglich gerundet.

Um die Fehlerfunktion erf(...) zu berechnen musst du entweder einen Taschenrechner, ein Tabellenwerk, eine Webseite oder ein Computerprogramm haben, mithilfe derer du die ermitteln kannst.

Comments

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Korrektur :

f(x; μ; σ) = (1 / 2) * (1 + erf((x - μ) / √(2 * σ ^ 2)))

Da musste noch eine dritte Klammer ...) am Ende hin.

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Ergänzung, damit du es besser verstehst :

I.) (1 / 2) * (1 + a) = 0.12

II.) (1 / 2) * (1 + b) = 0.80

a = -0.76

b = 0.6

Du musst also herausfinden, für welche Argumente die Fehlerfunktion erf(...) die Werte -0.76 und 0.6 annimmt.

Dann findest du mithilfe von Taschenrechner, Tabellenwerken usw. heraus, dass :

erf(-0.830841128474560) = - 0.76

und

erf(0.595116081449995) = 0.6

ist.

Nun muss nur folgendes Gleichungssystem gelöst werden :

(1.9 - μ) / √(2 * σ ^ 2)) = -0.830841128474560

(2.05 - μ) / √(2 * σ ^ 2)) = 0.595116081449995

Mit der Lösung :

μ = 1.9874 und σ = ± 0.0743823