Streckenberechnung Mann/Hund
Hallo :) Kennt vllt jemand die Formel dafür, um eine sich verändernde Strecke zu berechnen? In meinem Beispiel ist es so dass Mann und Hund eine Strecke von 6km zurücklegen müssen. Der Mann mit 3km/h und der Hund mit 6km/h. Wenn der Hund am Ende angekommen ist läuft er immer zurück zum Mann und wieder zum Ziel, bis sie beide gleichzeitig ankommen. Wie viele km läuft dann der Hund?
5 Antworten
Rein rechnerisch wird es da keine Lösung geben, da der Hund ja immer schneller ist und da er nur bis zu dem Mann wieder zurück läuft, wird er immer vor ihm da sein. Auch wenn es natürlich am Schluss minimal wird.
Der Hund ist die Strecke das erste mal in einer Stunde gelaufen. Da ist der Mann bei 3 km. Ab da laufen sie aufeinander zu. Da der Hund doppelt so schnell ist, wird er 2/3 der Strecke laufen, und er Mann 1/3 der verbleibenden 3 km
Mensch -> 4km
Hund -> 8 km
Das gleiche jetzt mit den verbleibenden 2 km
Der Hund läuft die Strecke in 20 min, dann ist der Mann 1 km gelaufen, also bei km 5, zwischen ihnen liegt ein km, davon läuft der Hund wieder 2/3 und der Mann 1/3
Mensch -> 5 1/3 km
Hund -> 10 2/3 km
etc.
Wenn man sich davon eine Tabelle macht, dann kommt man zu einer geometrischen Reihe
4/1+4/3+4/9+4/27+ .....4/3^n=4 * (1/1+1/3+1/9+1/27+...+(1/3)^n)
Mit der Summenformel bekommst du dann S=6[1-(1/3)^(n+1)] Das wird zwar immer näher an 6 heran kommen, aber nie 6 werden.
Und um blablub7 auch noch recht zu geben:
Für den Hund ergibt sich die Reihe 8/1+8/3+8/9+8/27 ... +8/(3^n) und ergibt dann
s=12[1-(1/3)^n] und das geht dann gegen 12
"Im Gegensatz zu dir und TheStone bin ich aber der Auffassung, dass der Hund die 12 km sehr wohl erreicht, weil auch die unendliche Summe der Zeiträume, die die Überlegung beschreibt, gegen einen endlichen Zeitraum konvergiert, nämlich gegen den Zeitraum "2 Stunden""
Das stimmt. Nach zwei Stunden erreicht der Hund die zwölf Kilometer nachdem er in diesem Zeitraum unendlich oft hin- und her gelaufen ist.
Ich fand die Aufgabe aber auch zu hübsch um sie mit der Antwort von blablub abzuhandeln, ohne diesen Aspekt wenigstens zu beleuchten... :)
A. Das Ergebnis ist 12km, was sich einfach mit der Zeit begründen lässt, die der Hund insgesamt läuft (siehe Lacoone und blablub7)
B. Wenn (umständlich, aber viel interessanter) so rechnest wie z.B. tinafritz1992, kommt für die vom Hund zurückgelegte Strecke s mit Grenzwert-Schreibweise formal heraus:
s = 8 ( 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ....) =
- Für i = 0,...,n und n → ∞
lim 8 ∑ (1/3)^i =
- Formel für die konvergente geometrische Reihe ( >http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe )
8 / (1 - 1/3) =
8 / (2/3) =
12 (km).
Die Antwort von blablub7 ist gut und richtig, wenn man die in der Frage angegebenen Fakten hinnimmt.
Bei genauerer Betrachtung ist es in diesem Versuch jedoch nie möglich, dass Hund und Mann gleichzeitig am Ziel eintreffen. Es ergibt sich ein ähnliches Problem, wie bei Achilles und der Schildkröte ( http://de.wikipedia.org/wiki/Achilles_und_die_Schildkröte ) Denn egal wie nah am Ziel Mann und Hund sich treffen, wenn der Hund von dort losläuft, wird er immer schneller am Ziel sein, umkehren und dem Mann wieder entgegen laufen können.
Du brauchst nur diese Formel : s = Strecke ; v = Geschwindigkeit; t = Zeit
s = v * t
Mann:
6km = 3km/h * t
t = 2h
also musst du wissen welche Strecke der Hund in zwei Stunden zurücklegt:
s= v * t
s = 6km/h * 2h
s= 12km
hoffe ich hab die Frage richtig verstanden :D
Vergiss mal die sich verändernde Strecke.
Der Mann braucht 2 Stunden für 6 km (3 km/h). Der Hund hat also genausoviel Zeit und läuft 12 km.
Aber die Strecke vom Mann wird doch wie du gesagt hast immer kleiner und der Hund läuft immer nur bis zu ihm, also auch immer kürzere Strecken. Kann man das dann noch so einfach berechnen?
Aber die Strecke vom Mann wird doch wie du gesagt hast immer kleiner
Die Strecke vom Mann ändert sich nicht! Die bleibt bei 6 km. Die Strecken des Hundes werden immer kleiner, dafür läuft er aber auch oft hin und her. Wenn du das einzeln ausrechnest und aufsummierst, kommst du auch auf 12 km
blablub7 hat völlig recht. Eigentlich ist völlig Wurscht, wo der Hund her läuft. Er läuft so lange, wie der Mann für die Strecke benötigt mit immer der gleichen Geschwindigkeit. Der Mann braucht 2 Stunden, also läuft der Hund auch 2 Stunden. Und in dieser Zeit legt er nun mal ein Strecke von 12 km zurück!
Deine Tabelle beschreibt die Strecke, die der Mann insgesamt zurücklegt. Der Hund legt (nach einer ganz analogen Tabelle) genau die doppelte Strecke zurück, nämlich 12km.
Diese Ergebnis kommt auch bei der sehr viel einfacheren Überlegungen von Lacoone und blablub7 heraus. Es handelt sich um das Problem von Achilles und der Schildkröte, siehe TheStone.
Im Gegensatz zu dir und TheStone bin ich aber der Auffassung, dass der Hund die 12 km sehr wohl erreicht, weil auch die unendliche Summe der Zeiträume, die die Überlegung beschreibt, gegen einen endlichen Zeitraum konvergiert, nämlich gegen den Zeitraum "2 Stunden".
Rein rechnerisch und streng formal ergeben sich die 12 km des Hundes als Grenzwert (s.o.)