Stetigkeit von dieser Funktionen?
Guten abend,
kann mir jemand bitte sagen wie man auf die beiden Grenzwerte -unendlich und +unendlich kommt. Der Rest ist mir klar nur nicht wie man die Grenzwerte ermittelt wenn man vom linken- bzw der rechtenseite die Funktion betrachtet:
Aufgabenstellung:
Lösung: (die makierte stelle wo ich nicht weiß wie die auf diese Grenzwerte gekommen sind)
3 Antworten
Zählerpolynom größer als das Nennerpolynom (x^2 > x^1), daher verläuft es gegen unendlich. Weist du, wieso es +- unendlich ist, oder soll ich es noch erklären?
wenn die größten Polynome beim x identisch sind, ist der Grenzwert dann einfach Zähler durch Nenner. Also in dem Fall 1/-1 = 1
Oder ein anderes Beispiel: (9*x^3 + 5*x - 9) / (3*x^2 - 3 + 3*x^3). Dort sind die größten Polynome x^3. Dort dann die Faktoren vor dem x^3 durcheinander dividieren, also 9:3 = 3
zu dem +- unendlich: der Zähler bleibt positiv, wenn man sich Werte nahe der -1 anschaut, die minimal größer und kleiner sind. Im Nenner wird es ja erst 0, wenn man genau -1 einsetzt. Für werte kleiner -1 wird es dann dementsprechend kleiner als 0, also negativ. Und positiv durch negativ = negativ, also -unendlich.
Wenn man jetzt aber einen Wert nahe -1 einsetzt, der aber noch größer ist, ist man ebenfalls nah an der Null, jedoch im positiven Bereich. Und positiv durch positiv gleich positiv und daher plus unendlich.
(x^2 + x + 1) / (x + 1) =
((x + 1)^2 + x) / (x + 1) =
x + 1 + x / (x + 1)
Das Verhalten für x gegen -1 wird vom Term x / (x + 1) bestimmt. Der Nenner geht gegen Null, der Zähler gegen 1, daher geht das ganze gegen Unendlich. Das Vorzeichen hängt davon ab, aus welcher Richtung man gegen -1 geht.
Der Zähler geht in beiden Fällen nach +1 und ist immer positiv (schau Dir im Zweifel die Parabel zum Zähler an) während der Nenner in einem Fall "laufend positiv" gegen 0 geht und im anderen von negativen Werten her kommend gegen null (Die Gerade x+1 zeigt auch das).
Skizze:
und was wäre dann bei f(x)=1-x/1+x da ist ja beides x^1