St. Petersburger Paradoxon?
Hey leute ich habe folgende Aufgabe: (siehe Bild)
Ich habe folgenden Ansatz:
Ich müsste 5 mal am Stück zahl werfen und dann Zahl also wahrscheinlichkeit dafür = (1/2)^2 damit ich gewinn mache
Leider komme ich nicht so wirklich weiter mit der Aufgabe und mich sehr freuen wenn ihr mir helfen würdet.
3 Antworten
Der erwartete Gewinn ist theoretisch unendlich, wie schon Jangler13 und Halbrecht bemerkt haben. In der Praxis hat das Kasino nicht beliebig viel Geld, um den Gewinn auszahlen zu können. Um die 20 Euro im Erwartungswert wieder rauszukriegen, ist ein Spiel von mindestens 40 Münzwürfen erforderlich, da der Erwartungswert wie von Halbrecht gezeigt für jeder Erfolgszahl gleich 1/2 ist. Bei einem Erfolg nach exakt 40 Würfen müsste das Kasino 2^39 Euro auszahlen können, also etwa 1/2 Billiarde. Das Spiel muss also auf deutlich weniger als 40 Würfe limitiert sein und ist dann, wenn man nach dem Erwartungswert geht, nicht fair.
Ich vermute Mal, dass du hier mit dem Erwartungswert Argumentieren sollst, ob das Spiel fair ist oder nicht.
Zumindest sollst du es versuchen, da der Erwartungswert hier sehr interessant ist.
Versuche ihn zuerst zu bestimmen.
Der Erwartungswert ist unendlich, korrekt.
Also könntest du theoretisch daraus schließen, dass egal wie Hoch der Einsatz ist, du kannst immer erwarten, dass du Geld gewinnst.
ABER das würde nur klappen, wenn du es Mehrmals spielen würdest. Und zwar sehr oft, dann würde es in Längere Hinsicht passen.
Da du es aber vermutlich nur ein Mal spielen willst, solltest du lieber die Wahrscheinlichkeit, überhaupt irgendwas zu gewinnen, zu betrachten.
Besser gesagt, die Wahrscheinlichkeit, dass du mehr als 20€ bekommst.
Du wirst dann sehen, dass diese sehr klein ist.
ich habe mal gerechnet
bei 16 euro wäre es doch (1/2)^5 = 0,031
bei 32 "............................." (1/2)^6 = 0,0156
Jetzt zu den 20 euro:
ich müsste 5 mal zahl und dann kopf werfen also p(x)= 0,0156 damit ich zum ersten mal gewinn mache, alles andere davor wäre ja verlust. Also nein das lohnt sich doch nicht ? oder
Das ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass du überhaupt was gewinnst. Das ist die Wahrscheinlichkeit für die erste Gewinnmöglichkeit. Die Wahrscheinlichkeit etwas zu gewinnen ist ein wenig größer.
Du musst Stattdessen 1-P(Nur Verluste) berechnen. Also alle Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse Addieren, wo du nur Geld verlieren würdest. Die Wahrscheinlichkeit die am Ende rauskommt ist trotztem sehr klein, also ja esohnt sich nicht (außer man hat seeeeeeeehr viel Geld, um es seeeeeeehr oft zu spielen)
also 1/2+ (1/2)^2 + (1/2)^3 + (1/2)^4 + (1/2)^5 = 0,96
1-0,97 = 0,03
also 3 % ist die wahrscheinlichkeit ist die chance etwas überhaupt zu gewinnen ? und dieser rechne weg war jetzt quasi über die gegen wahrscheinlichkeit oder ? also p( wahrscheinlichkeit etwas zu gewinnen) = 1- nicht p ( wahrscheinlichkeit nur verlsuste )
ich schreibe nur den Gewinn auf nach Anzahl der Versuche mit x für Zahl und k für Kopf . Wir sehen vom Einsatz ( 20 ) ab
Die Fälle sind
k 1
xk 2
xxk 4
xxxk 8
usw
.
Dein E(x) ist also
1*1/2 + 2*1/4 + 4*1/8 + 8*1/16 .....usw
multipliziere das mal aus
Jeder Summand ist derselbe , nämlich = ????
.
Schlussfolgerung ?
.
Mach dir keine Gedanken , das Paradoxon ist ein hochkomplexes Thema
Zu den 20 Euro : Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für 16 , für 32 Gewinn ?
Als e(x) habe ich unendlich
bei 16 euro wäre es doch (1/2)^5 = 0,031
bei 32 "............................." (1/2)^6 = 0,0156
Jetzt zu den 20 euro:
ich müsste 5 mal zahl und dann kopf werfen also p(x)= 0,0156 damit ich zum ersten mal gewinn mache, alles andere davor wäre ja verlust. Also nein das lohnt sich doch nicht ? oder
Nur noch eine kurze Frage ist das jetzt die Wahrscheinlichkeit überhaupt was zu gewinnen oder ist das die Wahrscheinlichkeit für die erste Gewinn Möglichkeit? ( Siehe unter jangler13 Antwort )
Ich habe den Erwartungswert berechhet der ist unendlich, jetzt ist die Frage wie könnte ich es mit mit den einsatz also 20 euro verknüpfen ?