Seminararbeit Mathe? Unendlichkeit der Primzahlen?

Hallo, ich bräuchte etwas Hilfe von de Mathe-Profis hier. Ich schreibe ne Seminararbeit über Primzahlen bzw. um die Unendlichkeit der Primzahlen und ihre Erschließung und muss jtzt meine Gliederung anfertigen. Ich möchte aufjedenfall über den Sieb des Erasthotenes genauso wie über den Nachweis von Euklid. Fällt jmd noch was ein über was ich schreiben könnte

5 Antworten

RitterToby08

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Schule

10.06.2022, 12:37

Falls die Arbeit etwas über Schulmathematik hinausgehen soll, kannst du auch weitere Beweise der Unendlichkeit vorstellen. Ich kenne zum Beispiel einen Beweis der größtenteils mit (Oberstufen-) Analysis auskommt.

PWolff

10.06.2022, 13:10

Meinst du den Satz von Euler über Primzahlen?

RitterToby08

10.06.2022, 13:19

@PWolff

Es ist ein Beweis von Euler, aber leicht abgewandelt. Zu finden in 2.4 dieses Seminars.

xXXx151

Beitragsersteller

10.06.2022, 13:43

Welche wären des denn? Es muss nicht unbedingt schulmathematik sein hahah leider

RitterToby08

10.06.2022, 13:51

@xXXx151

In meiner Antwort auf PWolff's Kommentar habe ich 6 Beweise verlinkt. Vor allem der 3. und 5. Beweis (der 5. ist vielleicht sogar der schönste) verwenden Aussagen oder zumindest Begriffe der Unimathematik. Diese werden aber alle erklärt.

PWolff

10.06.2022, 14:36

@RitterToby08

Und im Literaturverzeichnis dort sind noch weitere Beweise verlinkt.

tunik123

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik, Mathematik

10.06.2022, 11:57

Man kann auch etwas über die Primfaktorzerlegung schreiben.

Anwendungen wären die Ermittlung des kgV und des ggT oder der Nachweis, dass die Wurzel aus einer Primzahl nie eine rationale Zahl ist.

xXXx151

Beitragsersteller

10.06.2022, 13:44

Das würde ich dann in der Definition mit einbringen um des noch anschaulicher darzustellen

Perpendikel

10.06.2022, 11:56

Die Riemannsche Vermutung würde noch gut dazu passen. Wo viel Geld im Spiel ist steigt das Interesse enorm.

xXXx151

Beitragsersteller

10.06.2022, 13:45

Ja das hört sich ziemlich gut an

danke aufjedenfall

xXXx151

Beitragsersteller

31.10.2022, 20:28

Würd ich gern, aber ohne Beweis wäre der zu trocken glaub ich

YBCO123

10.06.2022, 12:02

Dass die Primzerlegung eindeutig ist, wäre ein netter Beweis.

LizenzfireArtZ

10.06.2022, 11:54

Primzahlsatz

xXXx151

Beitragsersteller

31.10.2022, 20:27

Was könnte ich alles über den schreiben? Aber halt alles was mit Schulmathematik auskommt :))

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If p_n denotes the n-th prime (in ascending order), deduce by induction from Euclid’s proof of Theorem 1.2 that p_n < exp(2^(n−1)).

Ich habe diese Ungleichung auch bewiesen, aber ehrlich gesagt finde ich meinen Beweis sehr unschön, finde aber keine Verbesserung, auch wenn ich schon mehrere Stunden an der Aufgabe sitze. Mein Beweis per Induktion:

Indunktionsvoraussetzung mit n=1 ist klar. Induktionsannahme auch. Zum Induktionsschluss:

Sei p1,..,pn eine Abzählung der ersten n Primzahlen. Es gilt, dass p1p2..pn+1 einen Primteiler q hat, der noch nicht in dieser Abzählung vorkommt (das ist gerade der Beweis von Euklid zur Unendlichkeit). Da p1,..,pn die ersten n Primzahlen repräsentiert, folgt dass p(n+1) die kleine Primzahl ist, die ein Teiler von p1..pn+1 sein kann (insbesondere kann p1..pn+1 selbst prim sein).

Daraus folgt insgesamt p(n+1)<=p1..pn+1

Nun setze ich die Induktionsvoraussetzung ein und fasse zusammen:

p1..pn + 1 < exp(2^0)exp(2^1)...exp(2^(n-1)) + 1 =
exp(2^0 + 2^1 + ... + 2^(n-1)) +1

Nun erkennt man, dass im Exponenten gerade die geometrische Summe mit x=2 von k=0 bis n-1 steht. Diese Summe entspricht (1-2^n)/(1-2). Das lässt sich vereinfachen zu (2^n - 1 )

Insgesamt folgt bis hierhin:

p(n+1) < 1 + exp(2^n - 1)

Nun zu dem Schritt, der mir selbst absolut nicht gefällt.

Ich zeige, dass das weglassen der +1 vorne und der -1 in der e-Funktion sich so wegheben, dass die ungleichheit erhalten bleibt, also explizit zeige ich dass gilt:

1 + exp(2^n - 1) < exp(2^n) (womit ich fertig wäre)

Ich zeige das so:

1 + exp(2^n - 1) = 1 + exp(2^n)/e = 1/e * (e + exp(2^n))

Es folgt also :

1/e * (e + exp(2^n)) < exp(2^n)

Mit Äquivalenzumformung erhalte ich:

e + exp(2^n) < e * exp(2^n)

Da diese Aussage für n=1 gilt und die Ableitung der e-Funktion die e-Funktion selbst ist, also insbesondere die Ableitung monoton steigt, vergrößert sich der Abstand sogar für alle n>1.

Wie gesagt, dieser letzte Teil gefällt mir gar nicht und ich wäre froh, wenn mir jemand eine alternative und schönere Argumentation bereitstellen könnte.

MfG

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