Riemannsche-Vermutung wo sind die bisher gefundenen Nullstellen?
Hallo!
Ich mag Mathe und Komplexe Zahlen sehr gerne. Vor allem Komplexe Analysis.
Ich möchte mir auch mal die Millennium-Probleme anschauen. Deshalb habe ich mir mal die Riemannsche-Vermutung angeschaut. Ich habe das folgende Video dazu dieses Video angesehen. An dieser Stelle verstehe ich aber nicht ganz, wo die Nullstellen bisher gefunden wurden. Ich dachte, damit ist gemeint, dass wenn: , dass dann ζ(s) = 0, wenn p eine Primzahl ist. Aber das funktioniert nicht. Ich denke mal, ich habe einen Fehler gemacht. Denn Mathe beschließt nicht einfach so, nicht zu funktionieren. Aber wo ist der Fehler? Weil er sagt in dem Video doch:
We call this the "Critical line" wich is where the real part of s is exactly one half.
Ich dachte jetzt, damit ist gemeint, dass wen der Reelle teil 1/2 ist und der Imaginäre eine Primzahl, dass ζ(s) dann = 0 ist. Aber das stimmt offensichtlich nicht.
Aber was ist dann s, wenn ζ(s) = 0 ist? Also außer die "Trivial zeros".
Danke!
3 Antworten
Die nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion befinden sich im "kritischen Streifen", d.h. haben die Form s + i t mit 0 < s < 1. Die Vermutung ist, dass immer s = 1/2 gilt. Der Imaginärteil t ist sicher keine Primzahl, ich weiss nicht wie du darauf kommst (habe mir das Video nicht angeschaut).
Ja, man wäre froh, wenn man t als Formel darstellen könnte.
Ohhh! Danke! Das heißt, wenn man eine Formel für t findet, hat man das Problem gelöst?
Ich dachte, damit ist gemeint, dass wenn:
, dass dann ζ(s) = 0, wenn p eine Primzahl ist. Aber das funktioniert nicht.
Die Beziehung zu den Primzahlen ist etwas anders.
Die eigentliche Beziehung lautet:
(was Leonard Euler gefunden hat)
bzw.
.
Die eigentliche Nullstellen sind nicht so einfach zu finden.
Zudem gilt das mit Re(z) = 0,5 nur, dann wenn die riemannsche Vermutung auch wahr ist, was wir aber bisher noch nicht wissen.
Aber was ist dann s, wenn ζ(s) = 0 ist?
Die trivialen Nullstellen rimannschen Zeta-Funktion sind nicht so einfach zu finden. Um die zu bestimmen trickst man ein bisschen.
Du kennst ja wahrscheinlich die Integraldarstellung der Funktion:
In den komplexen Zahlen gibt es ja für Integrale in der Regel keine eindeutige Lösung für Integrale mit Grenzen, da man ja in der komplexen Zahlenebene entlang eines Weges integrieren kann und die Fläche unter den ist dann dein Integral. Das ist z.B. der Fall, wenn eine Singularität erster Ordnung auf den Integrationsweg liegt:
Diese können wir künstlich erzeugen indem wir die Reziproke Funktion formen und dann dann die Integrationswege nutzen. Kommt bei einen Integrationsweg ein anderes Ergebnis als bei den anderen raus, dann liegt da wahrscheinlich eine Nullstelle.
Diese Nullstellen kann man aber nicht so einfach darstellen.
Hier kannst du viele dieser Nullstellen aufgelistet sehen: http://www.plouffe.fr/simon/constants/zeta100.html
Wenn du mehr darüber wissen willst kannst du auch hier vorbei schauen: https://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunctionZeros.html
Denkr der Punkt ist was mit Frequenz gemeint ist.
Ich vermute was man in dem Schritt macht ist das man das zu den ( Imaginärzeil der ?) verwendeten Nullstellen assoziierten Polynom nimmt und Fouriertransformiert - und das nennt man dann Frequenz der Nullstellen.
Ach so. Das heißt, dass Im(s) irgendeine Zahl ist? Danke!