Sekanten-Tangenten Satz beweisen?
Hallo,
ich bräuchte für ein Referat ganz dringend den Beweis des Sekanten-Tangenten Satzes. Ich weiß bereits, dass man PA x PB = PT^2 bzw. PA/PT = PT/PB benutzt.
Mir fehlt nur noch, wieso ich denn diesen Satz und nicht irgendwas anderes benutze. Ich habe gelesen, dass es etwas mit dem Satz des Pythagoras zu tun hat, jedoch habe ich das nicht so ganze verstanden. Wie kann ich nun den Beweis einfach und genau erklären?
Danke schonmal im vorraus!!
4 Antworten
Hallo,
daß PA*PB=PT², soll ja erst bewiesen werden und kann daher nicht für den Beweis benutzt werden.
Das ist ja die Behauptung des Sekanten-Tangentensatzes, daß die Fläche eines Rechtecks aus den beiden Sekantenabschnitten mit dem Quadrat des Tangentenabschnitts PT übereinstimmt.
Zum Beweis sieh Dir obige Zeichnung an.
Die Sekante ist so gewählt, daß sie durch den Kreismittelpunkt geht.
Somit sind die beiden Winkel ATB (Thaleskreis) und MTP (Radius und Tangente) rechte Winkel.
Von den beiden Winkeln wird jeweils der gemeinsame Winkel MTB (türkis) abgezogen, so daß die beiden übriggebliebenen Winkel ATM und BTP (braun) gleich groß sind.
Dreieck AMT ist gleichschenklig, weil sowohl die Seite MA wie die Seite MT Radien desselben Kreises sind.
Somit ist auch der Winkel MAT genauso groß wie die beiden anderen braunen Winkel (Basiswinkel).
Damit stimmen die beiden Dreiecke APT und PTB in zwei Winkeln (und damit gleich in allen drei Winkeln) überein und sind somit ähnlich.
Die Verhältnisse entsprechender Seiten zueinander sind gleich.
Dreieck PTB ist sozusagen eine verkleinerte und gespiegelte Ausgabe von Dreieck APT.
Strecke AP (a+b, blau+rot) im großen Dreieck entspricht Strecke PT (c, grün);
Strecke b (rot) im kleinen Dreieck entspricht Strecke c (grün) im großen Dreieck.
Es gilt also:
(a+b)/c=c/b
und damit nach Multiplikation mit c und b auf beiden Seiten:
b*(a+b)=c²
Da b=BP und a+b=AP sowie c=PT, ist die Behauptung
PA*PB=PT²
nachgewiesen.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo, könntest du mir vielleicht auch anhand einer Beispielaufgabe erklären, warum genau ich denn diesen Satz verwenden sollte? :)
du mußt dich mit dem sekantensatz, dem sehnensatz und ähnlichen Dreiecken auseinandersetzen , um dahinter zu kommen.
mal gucken?
Vielleicht hilft Dir das weiter?
https://de.wikipedia.org/wiki/Sekanten-Tangenten-Satz
oder das
Kenne das schon, leider nicht nein.. aber trotzdem danke!! :)