Schreibe Morgen Klausur und bin am verzweifel, kann mir jemand helfen?
Bei a und b weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll!
Kann mir jemand ein ausführliche Antwort zu den Fragen geben mit Rechnung, wäre sehr nett und hilfreich
Zum einen kann ich bei der a sagen, dass die Verschiebung auf der x Achse von k betroffen ist und die stauchung und Streckung der Parabel ebenfalls, falls dies richtig ist
Beste Grüße Niklas
1 Antwort
Hallo,
a) Es gilt
gₖ(x) = k•p(x) , und für die Ableitungen von gₖ
gₖ'(x) = k•p'(x)
gₖ"(x) = k•p"(x)
gₖ"'(x) = k•p"'(x)
Was kann man daraus ablesen?
1) Die Funktionen gₖ und p haben die gleichen Nullstellen.
2) Die Ableitungen von gₖ haben für alle k≠0 die gleichen Nullstellen wie die Ableitungen von p , und die Ableitungen von gₖ sind verschieden von Null genau dann, wenn die Ableitungen von p verschieden von Null sind.
Daraus folgt, dass für alle k > 0 Hoch- und Wendepunkt von gₖ den gleichen x-Wert wie Hoch- und Wendepunkt von p haben, nur ihr y-Wert ändert sich mit k. Der Tiefpunkt bleibt bei Änderung von k konstant, d.h. ihr y-Wert ändert sich bei Änderung von k nicht, weil der Tiefpunkt gleichzeitig eine Nullstelle von gₖ und von p ist.
3) Gilt k > 0 , dann ist der Graph von g₋ₖ das Bild der Spiegelung des Graphen von gₖ an der x-Achse. Das bedeutet, dass g₋ₖ bei x=0 einen Tiefpunkt und bei x=2 einen Hochpunkt hat. (Durch die Spiegelung an der x-Achse - dem Übergang von k zu -k wird der Hochpunkt zum Tiefpunkt und der Tiefpunkt zum Hochpunkt).
4) Für k > 1 wird der Graph von p durch die Multiplikation mit k gestreckt,
für 0 < k < 1 gestaucht.
Für k < -1 wird der Graph von p durch die Multiplikation mit k gestreckt und an der x-Achse gespiegelt, für -1 < k < 0 wird er gestaucht und gespiegelt.
b) Für die Funktion hₖ gilt
hₖ(x) = p(x) + k
d.h. der Graph von hₖ entsteht durch Verschiebung des Graphen von p um k Einheiten in y-Richtung (für k > 0 wird er nach oben, für k < 0 nach unten verschoben).
Die x-Werte von Hoch-, Tief- und Wendepunkt bleiben bei Variation von k konstant (sie liegen bei x=0, x=2 und x=1). Der Unterschied zu gₖ besteht darin, dass der Extrempunkt von hₖ bei x=0 nicht konstant ist, da sich sein y-Wert bei Änderung von k ändert.
Die Funktionen hₖ und gₖ haben für alle k≠0 verschiedene Nullstellen.
Im Gegensatz zu gₖ gibt es bei hₖ keine Stauchung oder Streckung,
es gilt hₖ(x) = g₁(x) + k .
Gruß