Sattelpunkt graphisch integrieren?

3 Antworten

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Ich habe die beiden Antworten von Volens und ralphdieter gelesen.

Ich arbeite mal (in Abwandlung von Volens) mit der Funktion f(x) = x³ + 1. Dann ist eine Stammfunktion F(x) = 1/4·x^4 + x + 0,5. Zeichnung anbei.

Solche Punkte, die ralphdieter beschreibt, habe ich in meiner Schulzeit als "Flachpunkte" kennen gelernt. Diese Bezeichnung ist mir zwar seitdem nicht wieder untergekommen, beschreibt m.E. die Situation aber schön anschaulich.

Woher ich das weiß:Berufserfahrung – Mathestudium
Sattelpunkt integrieren - (Mathematik, Universität, Differentialrechnung)

hummelxy 
Beitragsersteller
 05.01.2016, 13:13

Das Bild ist super und macht es nochmal klar. Vielen lieben Dank! :-)
Die Antwort war super!

Er verschwindet in der Bedeutungslosigkeit :-)

Schon ein Hochpunkt macht sich in der Stammfunktion nur als Wendepunkt bemerkbar: davor wird sie immer steiler und danach wieder etwas weniger steil.

Ein Sattelpunkt ist nun z.B. ein "Ätsch-doch-kein-Hochpunkt". Die Stammfunktion wird also immer steiler, verläuft dann in diesem Punkt "gerade" und steigt dann doch wieder immer stärker. Sie macht also eine Linkskurve, die immer schwächer wird, bis das Lenkrad auf geradeaus steht, und kurvt dann doch wieder links weiter ("Ätsch-doch-kein-Wendepunkt"). Die Tangente schmiegt sich in diesem Punkt besonders gut an — aber das ist nichts, was wirklich ins Auge sticht.

Und ein allgemeiner Wendepunkt macht sich in der Stammfunktion nur noch bemerkbar, dass die "Krümmung" innerhalb einer Kurve hier minimal ist. Mit "Krümmung" meine ich die Änderung der Steigung (also nicht den Kurvenradius). Bei y=x² ist diese z.B. konstant. Mit bloßem Auge kann man sowas also gar nicht mehr erkennen.


hummelxy 
Beitragsersteller
 05.01.2016, 13:15

Vielen Dank für die gute Antwort! :-)
Das "Ätsch-doch-kein-Wendepunkt" passt super dazu, vielen Dank!

Integriere doch einfach x³. Da hast du einen Sattelpunkt, der übrigens nicht immer auf der x-Achse liegen muss, siehe z.B. x³ + 15. Bei x³ liegt er genau im Ursprung.
Die Integration ist leicht: x⁴ / 4    
Das ist eine Gleichung 4. Grades, enger als die quadratische Parabel mit dem Minimum (0|0). Das ist dort, wo bei x³ der Sattelpunkt sitzt.

Woher ich das weiß:eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

hummelxy 
Beitragsersteller
 05.01.2016, 13:18

Aus deinem Beispiel wird der Sattelpunkt doch dann zum Extrempunkt??
Ich dachte jetzt, dass daraus ein "Doch-kein-Wendepunkt" wird?

Volens  05.01.2016, 14:19
@hummelxy

Meine Einlassung sollte zur Visualisierung eines Sattelpunktes dienen, nicht zur Beschreibung aller.