Rekonsturktion einer Funktionsgleichung-Mathe11
Hi, ich hab' ein Problem mit der Rekonstruktion einer Funktion dritten Grades: Eine Funktion drittenm Grades hat in P(1/6) eine Tangente, die paralell zur x-Achse verläuft, und in Q(1/4) einen Wendepunkt.
Kann mir da bitte jemand helfen, am besten anschaulich rekonstruieren un dein Bild hochladen, o.Ä. Dankeschön an alle Antwortenden:D
6 Antworten
Das Bild kannst du dir bei www.wolframalpha.com selbst zeichnen lassen. Gib dazu einfach die Funktionsgleichung ein.
Zur Ermittlung der Funktionsgleichung aus den bekannten Daten fängst du am besten mit der allgemeinen Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion 3. Grades an:
f(x) = a0 + a1 * x + a2 * x^2 + a3 * x^3
Für jeden gegebenen Punkt kannst du die Koordinaten in y = f(x) einsetzen.
Waagerechte Tangente heißt, die erste Ableitung der Funktion ist 0:
0 = y'(x) = a1 + 2 * a2 * x + 3 * a3 * x^2
wobei x = 1 ist (die x-Koordinate von P)
Wendepunkt heißt, die zweite Ableitung ist 0:
0 = y''(x) = 2 * a2 + 6 * a3 * x
wobei x = 1 ...
Da hab ich zu schnell angefangen. Steht da P(1/6) oder P(1|6)?
Wenn 1/6, was bedeutet P(1/6)?
Wenn (1|6), dann haben wir f(1) = 6 (wegen P) und f(1) = 4 (wegen Q). f kann also keine Funktion sein.
==> Aufgabe unlösbar.
Alternativer Weg ohne Gleichungssysstem und ohne zweite Ableitung mit Benutzung des korrigierten Punkts Q( 0 |4 ):
Die Ableitung f'(x) der gesuchten Funktion f(x) ist eine Parabel.
Wegen des Wendepunkts bei x = 0 (!) ist der Scheitel von f'(x) auf der y-Achse;
wegen der waagrechten Tangente von f bei x = 1 hat f'(x) bei x = 1 eine Nullstelle.
Also hat f'(x) die Form f'(x) = a(x² -1) = ax² -a.
Damit ist f(x) = ∫ f'(x)dx = ax³ / 3 - ax + C.
Wegen Q (0 | 4 ) ∈ f ist C = 4.
Wegen P(1 | 6 ) ∈ f ist 6 = a/3 -a + 4 ⇒ a = -3 , also insgesamt
f(x) = -x³ +3x +4
Hier geht es wie so häufig um das Übersetzen von Texten in Mathematik.
http://www.gutefrage.net/tipp/deutsch---mathematisch
Das müsste ich wohl bald mal um die Interpretation der Ableitungen erweitern.
I) Eine Funktion 3. Grades hat den Aufbau ax³ + bx² +cx + d = y
Ich schreibe es bewusst so herum, damit man x=1 und y=6 von P gleich einsetzen kann.
II) Tangente parallel zur x-Achse heißt waagerechte Tangente oder Steigung = 0. Steigung ist auch die 1. Ableitung. Also bilde ich für die obige Funktion die 1. Ableirung:
3ax² + 2bx + c = y'
Hier nehme ich nur x von P und schreibe statt y' eine Null hin, weil ja f '(x)=0 gilt, wenn ich die Steigung 0 haben will.
III) Mit dem Punkt Q gehe ich analog vor wie mit P in der Gleichung I.
IV) Wendepunkt heißt f '' (x) = 0.
Daher muss ich meine 1. Ableitung nochmal ableiten.
6ax + 2b = 0 (weil y'' ja 0 sein muss)
Für eine Gleichung 3. Grades braucht man 4 Angaben (immer eins mehr als man denkt).
Die haben wir jetzt und können es ausrechnen. 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten am besten nach dem Additionsverfahren. So erhält man dann a, b, c und d.
Eine solche Funktion gibt es nicht:
Beweis: Eine Relation, die die Punkte (1 | 6 ) und (1 | 4 ) enthält, ordnet dem gleichen x-Wert zwei verschiedene y-Werte zu. Eine solchen Relation ist keine Funktion.