Funktionsgleichung einer Funktion 3. Grades bestimmen?
Kann mir Jemand bei dieser Aufgabe helfen?:
Eine Funktion 3. Grades hat im Punkt P(3|7) die Steigung 1 und berührt die X-Achse in (6|0). Bestimmen sie die Funktionsgleichung.
4 Antworten
Der Ansatz einer Funktion dritten Grades lautet: f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
Daraus folgt: f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
Die Aufgabe liefert dir nun Informationen für Gleichungen, die du mithilfe eines linearen Gleichungssystems lösen kannst:
1. f(3) = 7
2. f'(3) = 1
3. f(6) = 0
4. f'(6) = 0
Falls du noch Fragen hast, lasse es mich gerne wissen!
Entschuldige die späte Antwort. Wenn du das LGS löst, erhälst du für jeden Parameter eine Zahl. Die Zahlen setzt du dann in die Gleichung (siehe ganz oben) ein.
Du hast f(x) = ax³ + bx² + cx + d
und vier Informationen:
- P(3|7)
- f'(3) = 1
- Q(6|0)
- Berührt X-Achse in x = 6
Wie sind deine nächsten Schritte?
Jetzt allgemein, zum Mitschreiben und bei der nächsten Aufgabe nachmachen.
Bei gegebenen Punkten, hier P(3|7) und Q(6|0) gilt immer: f(x) = y. Also f(3) = 7 und f(6) = 0. Das bedeutet, für das x, also den Wert in Klammern bei f(x) setzt du in ax³ + bx² + cx + d die erste Koordinate vom Punkt jeweils ein. Die andere Seite ist die zweite Koordinate im Punkt.
Für den ersten Punkt P(3|7) bedeutet das:
7 = a•3³ + b•3² + c•3 + d. Du erkennst die 3 und die 7 wieder? Die 3 war in f(3) und die 7 in = 7.
Nun zum Punkt 2. f'(3) = 1 hatte ich ja schon vorgegeben aus dem Text. Wenn da was von Steigung in einem Punkt steht, dann nimmst du von dem Punkt die x-Koordinate (hier die 3) und die Steigung ist der Wert der ersten Ableitung.
Nun musst du ax³ + bx² + cx + d ableiten, um das x einzusetzen.
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
1 = 3•a•3² + 2•b•3 + c. Auch hier siehst du die 3 und die 1.
Nun zur vierten Angabe: berühren heißt: gleiche Steigung und das heißt, dass der Wert der ersten Ableitung f'(x) für das x gleich ist.
Die x-Achse hat die Steigung 0. Die Steigung hat für x = 6 den Wert 0.
Also, wie eben: f'(6) = 0.
0 = 3•a•6² + 2•b•6 + c. Hier sind die 6 und die 0 zu sehen.
Nächste Schritte:
Du hast vier solcher Gleichungen, hoffentlich ausmultipliziert. Beispielsweise 3•a•3² nun als 27a geschrieben.
Diese musst du als lineares Gleichungssystem lösen. Das kennst du vermutlich noch aus dem Beginn der Mittelstufe? Sonst melde dich.
Allgemein: wenn so eine Aufgabe kommt, muss man erkennen können, wie die Gleichung dazu lautet. Eine Nachhilfeschülerin hatte sich darauf konzentriert und die Schritte, die ich eben ausgeführt habe. Die Linearen Gleichungssystem brauchen viel Zeit. Solltest du können und dir ansehen, aber das, was ich oben geschrieben habe, ist für eine Arbeit wichtiger, weil vermutlich mehr Punkte in weniger Zeit.
Ja du setzt das in vorlagen ein
Laso f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
du musst ein lgs nutzen
Und wie komme ich dann auf die Funktionsgleichung, nach der gefragt wird?