Rechenregeln für das Skalarprodukt für Vektoren?

Hi Leute,

ich habe eine Aufgabe bekommen und habe geknobelt bis gefühlt mein Kopf platzt.

die Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe der Rechenregeln für das Skalarprodukt für Vektoren :

||x-2y||² = ||x||² - 4(x*y) + 4 ||y||² , ∀ x,y in ℝⁿ

^{Kann mir bitte jemand helfen?}🙏

Answer 1

[Jangler13]

Schaue nach, welche Eigenschaften das reellwertige Skalarprodukt hat (Stichwörter: Symmetrie und Bilinearität)

Der Rest ist einfach nur stumpfes anwenden der Rechenregeln.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master

Answer 2

[Aurel8317648]

Schreibweise: Multiplikation zweier Vektoren ab bedeutet stets Skalarmultiplikation a*b

Wegen IaI^2 = a^2 = a*a gilt

Ix-2yl^2 = (x-2y)*(x-2y) =

x^2- 2yx - x2y + (2y)^2 =

Verwende nun:

x^2 = IxI^2

2yx = 2(yx) = 2(xy) ..... zunächst gemischtes Assoziativgesetz dann Kommutativgesetz zwischen zwei Vektoren

x2y = (x2)y = 2(xy).....zunächst gemischte Assoziativgesetz dann Kommutativgesetz zwischen Skalar und Vektor und dann gemischtes Assoziativgesetz

usw.

Comments

[Aurel8317648]

Am Anfang natürlich auch noch das Distributivgesetz dieses und das gemischte Assoziativgesetz ergeben die billinearität

Answer 3

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Die quadrierte Norm eines Vektors ist das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. Dann verwendet man die Bilinearität, um die Differenz und den Faktor aus dem Skalarprodukt rauszuziehen.