Rationale Zahlen Wahrscheinlichkeit?
Angenommen ein Zufallsgenerator, wählt irgendeine beliebige rationale Zahl zwischen -∞ und +∞ aus. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mensch diese beim 1. Versuch richtig errät? Sie ist auf jeden Fall sehr gering aber auf keinen Fall 0.
6 Antworten
Sie ist 0.
Denn die Wahrscheinlichkeit, aus einer unendlich großen Menge ein einziges, bestimmtes Element auszuwählen, verschwindet (denn es gibt unendlich viele „falsche“ und nur endlich viele günstige Möglichkeiten - hier sogar nur eine). An der Stelle könnte man weitreichend über stochastische und realistische Unmöglichkeit philosophieren.
Ja, sie ist 0. Das ist hier gleichzusetzen mit „gegen 0 gehen“. Wie gesagt, mathematische Unmöglichkeit ist nicht immer genau dasselbe wie praktische Unmöglichkeit. Dass es möglich ist, da sind wir uns sicher einig. Trotzdem ist die Wahrscheinlichkeit, dass es passiert, 0 (das heißt aber nicht, dass es praktisch unmöglich ist).
Denn die Wahrscheinlichkeit, aus einer unendlich großen Menge ein einziges, bestimmtes Element auszuwählen, verschwindet (denn es gibt unendlich viele „falsche“ und nur endlich viele günstige Möglichkeiten - hier sogar nur eine).
Du gehst dabei implizit quasi von einer Gleichverteilung aus. (Wobei anzumerken ist, dass es keine Gleichverteilung auf der Menge der rationalen Zahlen gibt.)
Denkbar wäre beispielsweise, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 die Zahl 1, mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 die Zahl 5 und jede andere Zahl mit Wahrscheinlichkeit 0 gezogen wird. Bei dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung wäre die Wahrscheinlichkeit die Zahl 1 zu ziehen dann nicht 0, sondern 0,6.
Ja. Wenn wir es wirklich formal aufziehen, macht ja allein die Fragestellung keinen Sinn mehr, weil es schon den Zufallsgenerator nicht geben kann. Aber darum ging es ja jetzt weniger.
Ich habe hier mal einen Beweis aufgeschrieben, wie man zeigen kann, dass es keine Gleichverteilung auf den rationalen Zahlen gibt: https://i.imgur.com/KrQ95aK.png
Der Beweis lässt sich auf jede abzählbar unendliche Menge übertragen.
Bemerkenswert ist, dass es durchaus auch überabzählbare Mengen gibt, auf denen man eine Gleichverteilung definieren kann. Beispielsweise lässt sich für reelle Zahlen a, b mit a < b auf dem reellen Intervall [a, b] eine Gleichverteilung definieren. (Wenn man versuchen würde meinen Beweis darauf anzuwenden, würde man bemerken, dass man das Intervall [a, b] nicht mit einer abzählbaren Vereiningung von einelementigen Mengen darstellen kann, und man auf diese Weise keinen Widerspruch erhält.)
- vor dem Experiment ist die WK Null, weil es abzählbar unendlich viele Möglichkeiten gibt...
- erst hinterher ist man schlauer...
- die WK für „die Zahl ist negativ“, wäre ersichtlich:
die WK für „die Zahl ist negativ“, wäre ersichtlich: 1/2
Das bezweifle ich, kann es aber nicht beweisen. Müsste man sich ein bisschen Gedanken zu machen, aber vom Gefühl her ist die Wahrscheinlichkeit entweder 0 oder 1. 1/2 glaube ich nicht.
- naja... ich stelle mir den Zufallszahl-Generator so vor: er wirft ne Münze für das Vorzeichen... (A) dann wirft er ne Münze für ein Bit des Zählers... dann wirft er ne Münze, um zu sehen, ob der Zähler noch n Bit bekommt... wenn ja: dann zurück zu (A)... wenn nein, dann ist jetzt der Nenner dran...
- leuchtet mir jedenfalls grad ein...
Deine Methode ist aber mit Sicherheit keine Gleichverteilung, von der in der Frage ja vermutlich ausgegangen wird. Aber wenn du das Experiment teilst in Vorzeichen und nicht-negative Zufallszahl, ist die Wahrscheinlichkeit natürlich 1/2. Die Frage ist, welche Wahrscheinlichkeit wir bei einer „zufälligen“ rationalen Zahlenwahl hätten (was genau genommen gar nicht geht, aber bleiben wir mal bei der Intuition). Und das ist eher nicht 1/2.
- versteh dich nich so gut...
- wie soll denn überhaupt bei „zufälliger Ziehung“ etwas anderes als 1/2 für das Vorzeichen „minus“ rauskommen?
Du teilst das Zufallsexperiment in zwei Stufen. Du ziehst zuerst ein Vorzeichen und dann eine („vorzeichenlose“) Zahl. Geht es uns dabei nur um das Vorzeichen, können wir nach der ersten Stufe abbrechen und erhalten dabei natürlich eine Wahrscheinlichkeit von 1/2 für positiv bzw. negativ.
Hier geht es aber wahrscheinlich eher um ein einstufiges Zufallsexperiment und eine Ziehung einer beliebigen Zahl (die dann natürlich automatisch ein Vorzeichen hat). Und dass dabei die Wahrscheinlichkeit, eine negative Zahl zu erhalten, 1/2 ist, glaube ich nicht. Aber da müsste man mal intensiver drüber nachdenken.
Angenommen ein Zufallsgenerator, wählt irgendeine beliebige rationale Zahl zwischen - ∞und + ∞ aus. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mensch diese beim 1. Versuch richtig errät?
Das kommt darauf an, entsprechend welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgenerator eine solche Zahl liefert (und je nachdem dann auch vom Raten der Person). Bedenke: Es gibt keine Gleichverteilung auf der gesamten Menge der rationalen Zahlen, falls du sowas im Kopf gehabt haben solltest.
Sie ist auf jeden Fall sehr gering aber auf keinen Fall 0.
Warum sollte sie nicht gleich 0 sein? Klar kann die Wahrscheinlichkeit gleich 0 sein. (Um zu klären, ob sie tatsächlich 0 ist, müsste man die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung kennen.) Bedenke: Wenn die Wahrscheinlichkeit gleich 0 ist, heißt dies nicht unbedingt, dass es unmöglich ist, sondern nur, dass es fast unmöglich ist.
Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Fast_sicher
aber ist in der Axiomatik der W-Rechnung nicht die 0 mit dem unmöglichen Ereignis gekoppelt ? ich kanns nur abschreiben , aber es heißt doch
P ( leere Menge ) = 0 ( wikiauszug folgt ) 2. Daraus folgt, dass das unmögliche Ereignis, die leere Menge, die Wahrscheinlichkeit Null hat: ............oder muß man sich es so denken : das stimmt zwar , heißt aber nicht , dass auch nicht-unmögliche Ereignisse eine W von 0 haben können ?
oder muß man sich es so denken : das stimmt zwar , heißt aber nicht , dass auch nicht-unmögliche Ereignisse eine W von 0 haben können ?
Genauso ist es. Das unmögliche Ereignis hat Wahrscheinlichkeit 0. Aber es kann auch nicht-unmögliche Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 0 geben. Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 0 nennt man deshalb auch nicht unmögliche Ereignisse, sondern fast unmögliche Ereignisse.
Sie ist null, da es unendlich viele mögliche Ereignisse gibt. Und du kannst die Zahl so wählen, dass es unmöglich ist sie beim ersten Versuch in der Lebenszeit eines Menschen aufzusagen.
Doch, sie ist NULL.
sie ist 0 oder geht gegen Null ? Wie genau kann da die Aussage sein........Ich erinnere mich , das bei kontinuierlichen Zufallsvariablen die Dichte für x = k auch mit 0 anzugeben ist , eine W existiert nur für Intervalle der ZV. Also : ist 0 ???