Wie oft muss ich ziehen?
Ich habe eine Urne mit 100 durchnummerierten Kugeln. Daraus ziehe ich 10 Kugeln und notiere mir die Zahlen der Nummern. Die Kugeln lege ich nun wieder zurück und wiederhole das ganze insgesamt 19 mal (also insgesamt habe ich das 20 mal gemacht). Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit dass alle Zahlen von 1-100 mindestens einmal gezogen wurden?
4 Antworten
Hallo,
das ist das gleiche Problem wie das Sammelalbum-Problem, nämlich wieviele Päckchen mit Bildern man kaufen muß, um ein Sammelalbum vollzubekommen.
Dazu hier eine ausführliche Arbeit:
Herzliche Grüße,
Willy
Wow interessant.
Da bin ich nun auf die Tücken des menschlichen Gefühls für große Zahlen hineingefallen, sogar in dem Sinne, dass ich die Wahrscheinlichkeit, dass alle Zahlen "drankommen", für viel zu gering hielt.
Kann ich mir das so vorstellen? :
Nach 10 Durchgängen ähnelt ein dazu erstelltes Schaubild schon annähernd einer Normalverteilungskurve;
in den nächsten 10 Durchgängen werden alle Ausreißer mit 86,2 %iger Wahrscheinlichkeit eliminiert, das heißt, "in die Mitte gezwungen". Neue Ausreißer sind uninteressant.
Tendiert gegen 0, würde ich sagen.
Da es Kugeln gibt, die mehrfach gezogen werden, wird es auch mindestens eine Kugel geben, die nicht gezogen wird. Es sind zwar 200 Ziehungen, aber dennoch.
Meine Hypothese:
Da kannst du bis zum Sanktnimmerleinstag ziehen, das wird nichts.
Ich habe das jetzt 20 Millionen mal ausprobiert (simuliert), und nur einmal waren alle 100 Zahlen dabei.
Ach. Interessant.
Ein Mensch wird in Europa im Schnitt zwei bis drei Milliarden Sekunden alt. Da muss bei diesem Versuchsaufbau also von einigen Menschen fleißig gezogen werden.
Sozusagen "Berufszieher" :)))
Ich habe jetzt nochmal 80 Millionen mal simuliert, diesmal waren zwei Mal alle 100 Zahlen dabei. Aber 3 je 100 Millionen lässt keine sinnvolle Schätzung der Wahrscheinlichkeit zu.
👍👍👍
Willy kommt erstaunlicherweise auf eine viel "günstigere" Wahrscheinlichkeitszahl.
Muss ich noch mal drüber nachdenken. (Als ob das was nützen würde:))) )
Es macht wohl einen nicht unerheblichen Unterschied, dass es innerhalb dieser 10-er-Gruppen jeweils ohne Zurücklegen ist.
Ich glaube, es würde sehr, sehr lange dauern, diese 86,2 % - siehe Willys Rechnung -, auf (fast) 100% zu bringen.
Somit widersprechen sich unser aller Vermutungen und Berechnungen gar nicht.
Das eine ist die Beantwortung der Frage des Fragestellers nach der Wahrscheinlichkeit und das andere die Zahl der Versuche und Zeitdauer.
Naja beim ersten Zug sind es 100 zu 100 bei der zweiten ziehhung hast du eine wahrscheinlichkeit von 99 zu hundert also zu 99% ziehst du eine neue Zahl. Bis du beim hundertsten Mal angekommen liegt die Chance bei 1 zu hundert also bei 1%. Wahrscheinlichekiten werden multipliziert wenn die Ereignisse aisseinander folgen. Heißt 1*.99*.98.......0.01 am Ende hast du eine wahrscheinlichkeit von 9,33262E-43
Sollte ich mich jetzt nicht verrechnet haben
Ah vergessen dass du nicht 100 Kugeln ziehst dann stimmt die Zahl natürlich nicht
(gelöscht, war als Kommentar gedacht)
Ich würde es über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, daß in allen 20 Päckchen à 10 Zahlen eine einzige fehlt, liegt nach der hypergeometrischen Verteilung bei
{[(99 über 10)*(1 über 0)]/(100 über 10)}^20=0,1215766546.
Die Wahrscheinlichkeit, daß genau zwei Zahlen in allen Päckchen fehlen, liegt entsprechend bei
{[(98 über 10)*(2 über 0)]/(100 über 10)}^20=0,01445261487, also schon deutlich geringer, was darauf schließen läßt, daß die Sache konvergiert.
Der Nenner ist bei allen Summanden gleich, nämlich 100 über 10.
Im Zähler hast Du absteigende Binomialkoeffizienten von 99 über 10 bis 10 über 10 und aufsteigende von 1 über 0 bis 90 über 0. Letztere ergeben immer 1, können bei der Multiplikation daher unberücksichtigt bleiben.
99 über 10 bedeutet, daß unter den 10 gezogenen Zahlen alle bis auf eine dabei sein dürfen. 10 über 10 bedeutet, daß bei allen Ziehungen nur immer die zehn gleichen Zahlen gezogen werden, daß also 90 Zahlen in der Urne bleiben.
Da bietet sich die Summenfunktion des Rechners an:
SUMME (k=10 bis k=99): [(k über 10)/(100 über 10)]^20=0,1379226003.
Das von 1 abgezogen ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 86,2 %, daß nach zwanzigmaligem Ziehen von je zehn unterschiedlichen Nummern alle Zahlen dabei waren.