Rätsel um Quadratzahl?
Hallo,
ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand einen stringenten, logischen Lösungsweg zu obigem Problem mitteilen könnte. Vielen Dank!
Quelle:
2 Antworten
Für bessere Lösung siehe andere Antwort und meinen Kommentar.
n² + 58n soll eine Quadratzahl sein, sagen wir mal n² + 58n = (n + x)² = n² + 2xn + x².
58n = 2xn + x²
(58 - 2x)n = x²
Die linke Seite ist Vielfaches von 2, also auch die rechte. x ist somit auch Vielfaches von 2.
Die rechte Seite muss das n-fache der linken Seite sein:
58 | 0
54 | 4
50 | 16
46 | 36
42 | 64
38 | 100
34 | 144
30 | 196
26 | 256
22 | 324
18 | 400
14 | 484
10 | 576
6 | 676
2 | 784 = 28²
Die erste Zeile zählt nicht, weil dann n 0 wäre. Die rechte Seite muss dann größer als die linke sein. Dass auf der rechten Seite Quadratzahlen sind, macht die Überprüfung auf Teilbarkeit leichter. Links sind dann immer irgendwelche Faktoren, die rechts nicht vorkommen, außer bei der 2. Für die letzte Zeile ist dann n = 784/2 = 392.
(392 + 58) ⋅ 392 = (392 + 28)²
So hätte ich es gemacht. Vielleicht gibt es noch was eleganteres. Die Idee ist, dass die Quadratzahl größer als n² sein muss. Die nächst größeren Quadratzahlen sind um 2n + 1, 4n + 4, 6n + 9, usw. größer. Gefordert ist, dass man 2xn + x² als 58n schreiben kann.
Formuliere den Term um zu einer Gleichung:
und da n ganzzahlig sein muss, gilt zusätzlich:
dies gilt, wenn:
Dafür bekommt man:
Setzt man die Werte für x ein, erhält man für n:
Womit man auf die einzigen Lösungen, nämlich n1=0 und n2=392 kommt.
Nein, positive Zahlen sind Zahlen strikt größer als 0.
Ich dachte sie gehört zu den positiven Zahlen, nicht aber zu den streng positiven. Naja ist wohl Ansichtssache, und ich denke nicht, dass der FS Punktabzug bekommen würde, wenn er die 0 mit angibt.
Ich habe mir auch schon überlegt statt der 1. binomischen Formel die 3. zu verwenden mit n = m - 29.
(m + 29)(m - 29) = m² - 29² = x² ⇔ m² - x² = (m - x)(m + x) = 29²
Und dann gibt es die eben von dir genannten Fälle.
In dem zulässigen Fall m = 421 bekommt man n = 241 - 29 = 392.
Da braucht man keine quadratische Gleichung. Oben fehlt übrigens ein Minus in der 4. Gleichung. Und es wurde eine positive ganze Zahl gefordert, also kommt 0 nicht in Betracht.
Ich dachte, wenn ich die 3. binomisches Formel anwende, bekomme ich ein so ähnliches Problem. Die Idee die 29² auf die rechte Seite zu bringen war sehr gut. Da hat man nur noch die drei möglichen Fälle.