Radioaktiver Zerfall Exponentialfunktion?

5 Antworten

Volens
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Schule, Mathematik
22.06.2020, 15:22

Am schnellsten geht es, wenn man die End- und Anfangsmenge iin ausgerechneter Form in die Formel einstellt.

y = c a^n

https://dieter-online.de.tl/Wachstumsfaktor.htm

Dann ergibt: 50 = 100 * a^3,8
den Wachstumsfaktor a zur Weiterverwendung.

Jetzt Zeit für 1/8:

12,5 = 100 * a^n

Für 10 %:

10 = 100 * a^n

n jeweils durch Logarithmieren errechnen.

Die Werte sind gegriffen; es geht auch mit anderen, die passen.

Kannst du logarithmieren?
Woher ich das weiß:eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb
Volens  22.06.2020, 15:29

Ich mag die einfache Wachstumsformel, wenn man sie anwenden kann.
Mathetrainer
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik
31.05.2019, 15:54

     Die 1/8 rechnest du jetzt einfach mit

 und löst das nach t auf.
Mathetrainer  31.05.2019, 16:11

Ach so, und für 10 % rechnest du einfach 0,1=0,83327^t

Mathetrainer  31.05.2019, 16:09

Ja, du musst rechnen:

0,5=a^(3,8) und nach a auflösen. Die Zerfallskonstante musst du aber berechnen, du hast ja nur die Halbwertzeit gegeben.

Mathetrainer  31.05.2019, 16:03

Aber ja, dann ist a=e^-(0,1824)=0,83327, also 1/8=0,83327^t nach t auflösen.

AnTiiViRuZ 
Beitragsersteller
 31.05.2019, 16:06
@Mathetrainer

Also ich muss mir zuerst dein "k" ausrechnen also Zerfallskonstante? Geht das auch direkt nach N(t) = N0 * a^t ohne die Konstante ?
AnTiiViRuZ 
Beitragsersteller
 31.05.2019, 16:00

Hey danke für deine Antwort. Geht das auch mit N(t) = N0 * a^t zu lösen ?
fjf100
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik
31.05.2019, 17:08

siehe Mathe-Formelbuch,Exponentialfunktion f(x)=a^x

kommt in der Form vor N(t)=No*a^x

oder mit der Basis e beim radioaktiven Zerfall N(t)=No*e^(-b*t)

a>0 exponentielle Zunahme

0<a<1 exponentielle Abnahme

No=Anfangswert bei t=0 also N(0)=No*a^0=No*1

Halbwertszeit T=3,8 Tage ergibt N(T)=No/2

No/2=No*a^T

1/2=a^T

a=T.te Wurzel(1/2)=3,8.te Wurzel(0,5)=0,833..

Formel N(t)=No*0,833^t

N(t)=1/8*No

No/8=No*0,833^t

1/8=0,833^t logarithmiert

ln(1/8)=ln(0,833^t)=t*ln(...) siehe Mathe-Formelbuch Logarithmengesetz

log(a^x)=x*log(a)

t=ln(1/8)/ln(0,833)=11,38..Tage

mit 10 % ergibt No/100%*10%=No*0,1 also N(t)=No*0,1

No*0,1=No*0,833^t

0,1=0,833^t

t=ln(0,1)/ln(0,833)=12,6 Tage

Hinweis:Man kann auch den Logarithmus mit der Basis 10 verwenden.

t=log(0,1)/log(0,833)=12,6 Tage

selbe Rechnung mit N(t)=No*e^(-b*t)

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert
Rhenane
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik
31.05.2019, 16:08

Die allgemeine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lautet f(t)=a * q^(kt) mit a als Startwert (wäre hier 100%, also 1), q als Wachstumsfaktor (hier 0,5), der Zeit t und dem Faktor k, der noch passend zur Halbwertszeit gewählt werden muss. (komme gerade nicht drauf wie man den allgemein "fachmännisch" nennt).

Bei t=3,8 ist nur noch die Hälfte vom Element vorhanden, d. h. 0,5^1 vom Ausgangswert, d. h. Du musst k=1/3,8 wählen, also hast Du als Funktion:
f(t)=0,5^(t/3,8)
Jetzt ist einmal nach f(t)=1/8 und einmal nach f(t)=0,1 gefragt:

1/8=0,5^(t/3,8) |ln
ln(1/8)=t/3,8 * ln(0,5) |:ln(0,5) |* 3,8
t=3,8 * ln(1/8)/ln(0,5) = 11,4

mit f(t)=0,1 entsprechend...