Exponentiellen Zerfallprozess berechnen?
Ich schreibe am Mittwoch eine Mathe KA und heute war meine letzte Mathe-Stunde. Aufgabe lautet "Von einem radioaktiven Stoff sind nach 3 Tagen noch 72% übrig der Ausgangsmenge vorhanden. a) um wie viel Prozent zerfällt der Stoff täglich? b) Nach welcher Zeit sind 50% Ausgangsmenge übrig?" Wie gehe ich hier vor, die Lösungen habe ich zwar, aber keinen blassen Schimmer wie man es berechnet. Danke im Voraus
3 Antworten
N(t) = N(0) * (1 - p / 100) ^ (t / s)
N(0) = Menge in % am Anfang
N(t) = Menge in % nach t Zeiteinheiten
p = Zerfallsrate in %
t = verstrichene Zeit in Tagen
s = Schrittweite in Tagen
Wenn noch 72 % vorhanden sind, dann hat die Menge um 100 % - 72 % = 28 % abgenommen, also ist p = 28
Die Menge am Anfang beträgt 100 %, also ist N(0) = 100
Wenn du die Zeit mit einer Schrittweite von 3 Tagen betrachtest, dann muss t noch durch die Schrittweite geteilt werden, siehe Formel.
In deinem Beispiel ist s = 3
Jetzt kann man anfangen zu rechnen -->
a.)
Um wie viel Prozent zerfällt der Stoff täglich ?
Das würde bedeutet, man soll die Formel für t = 1 ausrechnen.
N(t) = N(0) * (1 - p / 100) ^ (t / s)
N(0) = 100 und p = 28 und s = 3 und t = 1
N(1) = 100 * (1 - 28 / 100) ^ (1 / 3)
N(1) = 89.6280949311433 %
Die Menge am Anfang N(0) betrug 100 %
Nun teilt man N(1) durch N(0) -->
89.6280949311433 % / 100 % = 0.896280949311433
Aussage --> Nach einem verstrichenen Tag ist das 0.896280949311433 - fache der Menge vorhanden die einen Tag zuvor vorhanden war.
b.)
Nach welcher Zeit sind 50% Ausgangsmenge übrig ?
N(t) = N(0) * (1 - p / 100) ^ (t / s)
N(0) = 100 und p = 28 und s = 3
Man soll also herausfinden für welches t folgendes gilt -->
N(t) = N(0) / 2
Also sollen wir folgenden Ausdruck nach t auflösen -->
N(0) / 2 = N(0) * (1 - 28 / 100) ^ (t / 3)
N(0) / 2 = N(0) * (1 - 28 / 100) ^ (t / 3) | : N(0)
1 / 2 = (1 - 28 / 100) ^ (t / 3) | ^ 3
(1 / 2) ^ 3 = (1 - 28 / 100) ^ t
t = ln((1 / 2) ^ 3) / ln(1 - 28 / 100)
ln = natürlicher Logarithmus, ist auf fast jedem Taschenrechner drauf.
t = 6.3300328694464785
Aussage --> Nach zirka 6 Tagen und 8 Stunden ist nur noch 50 % der Ausgangsmenge übrig.
Was einfacher ist, das ist Ansichtssache, und das muss letzten Endes der Fragesteller für sich selbst entscheiden, was er / sie denn nun einfacher findet.
Vielen Dank für deine persönliche Meinung.
y=a^x ist die allgemeine Funktion(x sind die Tage)
y=ist das was übrig bleibt
d.h dach 3 tagen lautet die funktion:
a^3=0.72
a=0.72^(1/3)
a = 0.896
D.h a % bleiben nach jedem Tag übrig
>> (1 -a)*100 % zerfallen täglich
Den Rest kannst du jetzt hoffentlich selber.
Tipp: Logarithmus
Bis dahin habe ich es jetzt verstanden. Danke.
In den Lösungen steht t= 3*lg(o,5)/lg(o,72)=6,33
aber wie komme ich darauf ???
Meine Lösung wäre log(0,896, 0,5). Aber offensichtlich sollst du es hier mithilfe eines Basiswechsels lösen. Ich empfehle folgendes Video: https://www.youtube.com/watch?v=P2YUPkljpOE
radioaktiver Zerfall
N(t)=No*e^(-b*t) hier ist b die Zerfallskonstante
mit t=3 und No/100% *72%=No*0,72=N(3)
No*0,72=No*e^(-b*3) ergibt 0,72=e^(-b*3) logarithmiert
ln(0,72)=-b* 3 ergibt b=ln(0,72)/-3=0,1095..
Formel also N(t)=No*e^(-0,1095*t) mit t=1 ergibt N(1)=No*0,8962
also sind nach 1 Tag noch 89,62% der kerne vorhanden
zerfallen sind 100%-89,62%=10,37%
b. No=N(t)/2 eingesetzt No/2=No*e^(-0,1095*t) ergibt 0,5=e^(-0,1095*t)
logarithmiert ln(0,5)=- 0,1095 * t ergibt t=ln(0,5)/-0,1095=6,33..Tage
einfacher ist es über die Formel N(t)=No*e^(-b*t)
b ist die Zerfallskonstante
der Rest ist nur noch logarithmenrechnen