Radioaktiver Zerfall?

Könnte jemand prüfen, ob mein Resultat stimmt?

Answer 1

[mihisu]

Nein.

Also: Dein Resultat stimmt im Grunde, erfüllt jedoch meiner Ansicht nach nicht ganz die Aufgabenstellung.

====== Bemerkung 1 ======

Denn es ist gefragt: „Wie ändert sich die Kernanzahl [...]“

Es ist nicht gefragt: „Wie viele Kerne sind dann noch übrig [...]“

Du bist nicht wirklich auf die „Änderung“ eingegangen.

Statt N = N(t) würde ich hier eher ΔN = N(t) - N₀ als absolute Änderung der Teilchenanzahl [oder vielleicht auch ΔN/N₀= (N(t) - N₀)/N₀ als relative Änderung der Teilchenanzahl] erwarten.

====== Bemerkung 2 ======

Ich hoffe doch, du hast schon einmal etwas von „signifikanten Stellen“ (manchmal auch grob als „gültige Ziffern“ bezeichnet) gehört.

Du solltest das Ergebnis nicht so weit ausgeschrieben aufschreiben. Denn einerseits kann man damit die größen Ordnung schlechter einschätzen. Und andererseits wird damit eine Genauigkeit vorgetäuscht, die du nicht gegeben hast.

Da du bei 2,7 ⋅ 10¹⁸ für die ursprüngliche Kernanzahl nur 2 signifikante Stellen gegeben hast, solltest du auch das Ergebnis auf nur 2 signifikanten Stellen gerundet angeben.

====== Lösungsvorschlag zum Vergleich ======

Ich schreibe mal auf, wie ich das im Vergleich lösen würde...

a)

$\text{geg.:}\quad \lambda=13\text{,}8\cdot {10}^{-12}\,\text{s}^{-1},\ N_0=2\text{,}7\cdot {10}^{18},\ t=1\,\text{s}$

$\text{ges.:}\quad \Delta N$

$N(t)=N_0\cdot \text{e}^{-\lambda\cdot t}$

$\Delta N=N(t)-N_0=N_0\cdot \text{e}^{-\lambda\cdot t}-N_0=N_0\cdot \left(\text{e}^{-\lambda\cdot t}-1\right)$

$=2\text{,}7\cdot {10}^{18}\cdot \left(\text{e}^{-13\text{,}8\cdot{10}^{-12}\,\text{s}^{-1}\cdot 1\,\text{s}}-1\right)\approx -3\text{,}7\cdot {10}^{7}$

Antwort: Die Anzahl der Ra-226-Kerne nimmt in der ersten Sekunde um etwa 3,7 ⋅ 10⁷ (etwa 37 Millionen) ab.

Mit relativer Änderung...

$\frac{\Delta{N}}{N_0}=\frac{N_0\cdot \left(\text{e}^{-\lambda\cdot t}-1\right)}{N_0}=\text{e}^{-\lambda\cdot t}-1$

$=\text{e}^{-13\text{,}8\cdot {10}^{-12}\,\text{s}^{-1}\cdot 1\,\text{s}}-1\approx -1\text{,}38\cdot {10}^{-11}=-0\text{,}00000000138\,\%$

Antwort: Die Anzahl der RA-226-Kerne nimmt in der ersten Sekunde um etwa 0,00000000138 % ab.

b)

$\text{geg.:}\quad \lambda=13\text{,}8\cdot {10}^{-12}\,\text{s}^{-1},\ N_0=2\text{,}7\cdot {10}^{18},$ $\quad t=145\,\text{a}=145\cdot 365\text{,}25\cdot 24\cdot 60\cdot 60\,\text{s}$

$\text{ges.:}\quad \Delta N$

$N(t)=N_0\cdot \text{e}^{-\lambda\cdot t}$

$\Delta N=N(t)-N_0=N_0\cdot \text{e}^{-\lambda\cdot t}-N_0=N_0\cdot \left(\text{e}^{-\lambda\cdot t}-1\right)$

$=2\text{,}7\cdot {10}^{18}\cdot \left(\text{e}^{-13\text{,}8\cdot{10}^{-12}\,\text{s}^{-1}\cdot 145\cdot 365\text{,}25\cdot 24\cdot 60\cdot 60\,\text{s}}-1\right)\approx -1\text{,}7\cdot {10}^{17}$

Antwort: Die Anzahl der Ra-226-Kerne nimmt in den ersten 145 Jahren um etwa 1,7 ⋅ 10¹⁷ (etwa 170 Billiarden) ab.

Mit relativer Änderung...

$\frac{\Delta{N}}{N_0}=\frac{N_0\cdot \left(\text{e}^{-\lambda\cdot t}-1\right)}{N_0}=\text{e}^{-\lambda\cdot t}-1$

$=\text{e}^{-13\text{,}8\cdot {10}^{-12}\,\text{s}^{-1}\cdot 145\cdot 365\text{,}25\cdot 24\cdot 60\cdot 60\,\text{s}}-1\approx -0\text{,}0612=-6\text{,}12\,\%$

Antwort: Die Anzahl der RA-226-Kerne nimmt in den ersten 145 Jahren um etwa 6,12 % ab.

Answer 2

[indiachinacook]

(a) „Kurzes Zeitintervall“ bedeutet, daß Du direkt mit der Zerfallkonstante rechnen kannst, also ist die Zerfallsrate gleich Teilchenzahl N₀ mal Zerfallskonstante λ, das sind 3.73⋅10⁷ Teilchen, die pro Sekunde zerfallen.

Die Zahl, die Du berechnet hast, ist dagegen die Anzahl der Atome, die nach einer Se­kunde noch übrig ist ­ Wenn Du das von der Anfangsanzahl N₀ abziehst, bekommst Du das gefragte Resultat.

(b) Nun ist gefragt, wieviele Teilchen in den ersten 145 Jahren zerfallen. Der Anteil der Teilchen, die noch vorhanden sind, ist exp(−λt) =93.9%, also sind 6.12% zerfallen, das sind 1.65⋅10¯¹⁷ Teilchen, die nach 145 Jahren fehlen. Natürlich nur, wenn ich mich bei der Umrechnung zwischen Jahren und Sekunden nicht verrechnet habe.

Du hast das ähnlich und auch richtig gerechnet, aber denselben Fehler wie beim ersten Mal gemacht: Gefragt ist nicht, wieviele Teilchen übrigbleiben, sondern, wieviele zerfallen.

Comments

[Phoenix1604]

Wer lesen kann ist schlauer LOL.

Answer 3

[evtldocha]

• Deine Pseudo-Genauigkeit ist zu viel des Guten
• Ich würde an Deiner Stelle nochmal in den Unterlagen aus dem Unterricht nachsehen, welche Näherungen Ihr dort für "kurzes Zeitintervall" und "langes Zeitintervall" besprochen hattet. Die Hinweise über das Zeitintervall stehen in den Aufgaben sicher nicht umsonst in Klammern.
• Da nach der Änderung der Kernzahl gefragt ist, würde ich in beiden Fällen auch die relative Änderung $\frac{N\left(t\right)-N_0}{N_0}=\frac{N\left(t\right)}{N_0}-1$ berechnen. Die absoluten Zahlen der übrig gebliebenen oder zerfallenen Kerne sagen ja nicht sonderlich viel.

Comments

[Franz1957]

"Kurzes Zeitintervall" heißt: Die relative Änderung ist annähernd Null. Da ist es numerisch günstiger und zugleich einfacher, aus der Ableitung direkt die absolute Änderung zu berechnen: ΔN ≅ Δt N' = Δt λ N