Radioaktiver Zerfall bei 2% ausgabgsstoff?
Ein radioaktiver stoff verliert jährlich 2% seiner Menge. Nach wie vielen Jahren hat sich die startmengenhalbiert. Wie ist der Rechenweg?
Lösung ist: 34Jahre
lg
5 Antworten
Also ich bin kein Mathecrack, ich komme aber mit einer einfachen Milchmädchenrechnung auf 25 Jahre als Endergebnis.
Pro Jahr verliert er 2% seiner ursprünglichen Ausgangsmenge und 50% soll nach x Jahren erreicht werden (also 50% verlieren).
(100% Ausgangsmenge geteilt durch 2 [um die Ausgangsmenge zu halbieren]) : 2%/a [Jahr] = 25 a bzw. Jahre
Nach 25 Jahren hätte er 50% seiner ursprünglichen Ausgangsmenge erreicht.
Hab ich da einen Denkfehler oder ist die Lösung von 34 Jahren nicht korrekt?!
Ah, ich habe glaub ich den Denkfehler, hab nicht aufmerksam genug gelesen. Es wird ja nicht die Anfangsmenge jedes Jahr um 2% verringert sondern den jeweils aktuellen Wert.
Ich wusste es war zu einfach gedacht von mir :-D
N1=No-No/100%*2%=No*(1-0,02)=No*0,98
N(t)=No*a^t hier ist a=1-0,02=0,98 und N(t)=No/2 ergibt
No/2=No*a^t
1/2=0,5=a^t logarithmiert
ln(0,5)=ln(a^t)=t*ln(a) siehe Mathe-Formelbuch "Logarithmengesetze" log(a^x)=x*log(a)
also t=ln(0,5)/ln(0,98)=34,3.. Jahre
Hinweis: Man kann auch den Logarithmus mit der Basis 10 verwenden.
t=log(0,5)/log(0,98)=34,3.. Jahre
oder über die Zerfallsformel
N(t)=No*e^(-b*t) mit N(1)=No*0,98 und t=1 ergibt
No*0,98=No*e^(-b*1)
0,98=e^(-b) logarithmiert
ln(0,98)=-b
b=ln(0,98)/-1=0,0202...
eingesetzt
N(t)=No*e^(-0,0202*t) mit N(t)=No/2
No/2=No*e^(-0,0202*t)
1/2=0,5=e^(-0,0202*t) logarithmiert
ln(0,5)=-0,0202*t
t=ln(0,5)/-0,0202=34.31...
Nimm einfach mal als Ausgangswert 10 (halbiert:5) und stell eine Gleichung auf, die du dann löst. Habe leider gerade wenig Zeit, aber so lernst du sowieso am besten :)
0,5 = 0,98^t
logarithmus
log 0,5 = t • log 0,98
nach t auflösen.
Der Ansatz steht doch schon in der letzten Zeile deines Textes...