Quadratische Funktionen gleichsetzen?
Hi Leute :)
Mein problem ist ich weiß nicht wie ich die funktionen f (x) =-1/4x^2 -3/4x +10 und g (x) = -3/4x -6 gleichsetzen soll.
Bei -1/4x^2 -3/4x +10 = -3/4x -6 würde ich zuerst + 3/4x rechnen , da ich aber diese Funktionen so gleichsetzen soll dass ich am Ende die pq- Formel rauskriegen soll um schnittpunkte zu errechnen macht das keinen Sinn. Das px wäre dann ja weg.
Habt ihr Ideen wie ich das gleichsetzen anfangen/ lösen kann?
4 Antworten
Sei nun f(x) = -1/4*x^2 - 3/4*x +10 und g(x) = -3/4*x - 6
Gesucht sind die Schnittpunkte beider Funktionen, wir setzen also an:
f(x) = g(x)
Einsetzen der Funktionsgleichungen liefert:
-1/4*x^2 - 3/4*x +10 = -3/4*x - 6 II + 3/4*x II + 6
-1/4*x^2 + 16 = 0 II *(-4)
x^2 - 64 = 0 II + 64
x^2 = 64 II Quadratwurzel ziehen auf beiden Seiten = (....)^(1/2)
x(1) = 8 und x(2) = -8
Somit lauten die beiden Lösungen für die Schnittstellen 8 und -8.
Betrachten wir das mal für den allgemeinen Fall:
Sei f(x) = ax^2 + bx + c und g(x) = mx + n
Gleichsetzen liefert:
ax^2 + bx + c = mx + n II - (mx + n)
ax^2 + (b - m)x + (c - n) = 0 II *(1/a) mit a ungleich 0
x^2 + (b - m)/a *x + (c - n)/a = 0
Sei nun (b - m)/a = p und (c - n)/a= q damit folgt durch ersetzen der entsprechenden Ausdrücke in obiger Gleichung:
x^2 + px + q = 0
Lösung erfolgt hier einfacher Weise über die PQ-Formel mit :
x(1|2) = -p/2 +/- [ (p/2)^2 - q]^(1/2) mit [...]^(1/2) als Quadratwurzel
Einsetzen der jeweiligen Ausdrücke für p und q liefert schließlich:
x(1|2) = -(b - m)/(2a) +/- [ ((b - m)/(2a))^2 - (c - n)/a ]^(1/2)
Damit hätten wir nun allgemein die Schnittstellen der Funktionen f und g berechnet.
- (1 / 4) * x ^ 2 - (3 / 4) * x + 10 = - (3 / 4) * x - 6 | + (3 / 4) * x
- (1 / 4) * x ^ 2 + 10 = - 6 | - 10
- (1 / 4) * x ^ 2 = -16 | : - (1 / 4)
x ^ 2 = 64 | √(...)
x _ 1 = -8
x _ 2 = +8
px existiert noch mit p=0
Du kannst somit weiterhin die pq-formel anwenden, die somit zu:
x_1/2=+-sqrt(-q)
Hey,
du musst dann einfach nur in der pq-Formel für p null einsetzen. Also mit x^2+0x-64=0 rechnen. Damit bekommst du dann die beiden Schnittpunkte heraus.
MfG Fragmaka