produktregel e-funktion ausklammern?
hallo,
habe hier folgende aufgabe...
E(x)=4xe^ -0,2x
diese soll ich ableiten. hier würde ich die Produktregel zu rate ziehen
E'(x)=4e^-02x + 4xe^-0,2x* (-0,2)
hierbei würde ich nun noch 4e^-0,2x ausklammern und würde dann zu folgender Gleichung kommen
4e^-0,2x*(-0,2x)
die Lösung besagt jedoch, dass in der klammer (-0,2x) noch eine 1 stehen soll. also demnach
4e^-0,2x*(1-0,2x)
kann mir jemand erzählen, wo diese herkommt?
meine Idee ist, dass das das ist, welches über geblieben ist beim ausklammern, also die nach dem plus direkt nach der 4.
4e^-02x + 4xe^-0,2x* (-0,2)
die bleibt ja beim ausklammern über, aber warum wird die nach dem ableiten nochmal zur 1 und selbst dann, ist sie ja ein Faktor, mittels welcher Regel wird die in die klammer gezogen und zu einem Subtrahend zu (-0,2x) ?
hoffe, jemand kann mir helfen!
vielen lieben dank!
6 Antworten
Du hast ja selbst
E'(x)=4e^-02x + 4xe^-0,2x* (-0,2) herausgefunden. Achtung, wie schon Willi erwähnte, musst du den Exponenten in Klammer setzen, da er aus mehr als einer Zahl besteht. Richtig wäre also:
E'(x)=4e^(-02x) + 4xe^(-0,2x)* (-0,2). Den ersten Summand darfst du mit 1 multiplizieren ohne dass sich was ändert und im 2. darfst du das x einfach nach hinten schreiben, wegen dem Kommutativgesetz.
Das kann man umschreiben als E'(x) = 4e^(-0,2x) *1 + 4e^(-0,2x)*(-0,2x)Jetzt kannst du 4e^(-0,2x) ausklammern und erhälst:4e^(-0,2x) (1-0,2x)
Ich hoffe ich konnte helfen! Der Punkt, der dir wahrscheinlich Kopfschmerzen bereitet ist der, dass wenn du etwas komplett ausklammerst in der Klammer trotzdem eine 1 stehen bleibt, weil etwas*1 = etwas.
Du tust es damit du die ganze Zahl ausklammern darfst. In die Klammer muss ja auch was kommen. Das ist der typischste aller Fehler: einfach den ganzen Ausdruck ausklammern und in die Klammer nichts zu schreiben.
Das ist genau der Trick: wenn du eine Zahl mit 1 multiplizierst ändert sich ja ihr Wert nicht. Zahl*1 = Zahl (außer die Zahl ist 0, was in unserem Beispiel ja nicht greift)
Ich geb dir mal ein anderes Beispiel. Wenn du x+x³ faktorisieren sollst, siehst du bestimmt, das du x ausklammern kannst.
Der Trick besteht darin x =x*1 und x³ = x*x²
du kannst also schreiben x+x³ = x*1 + x*x² | jetzt x ausklammern
=x(1+x²)
f(x) = 4xe^(-x/5)
f'(x) = 4e^(-x/5) - 4/5 * xe^(-x/5)
f'(x) = 4e^(-x/5) * 1 - 4e^(-x/5) * x/5
f'(x) = 4e^(-x/5) * ( 1 - x/5 )
Hallo,
4x*e^(-0,2x) ergibt nach Produkt- und Kettenregel abgeleitet:
4*e^(-0,2x)+4x*(-0,2)*e^(-0,2x)
Zusammengefaßt:
4e^(-0,2x)-4*e^(-0,2x)*0,2x (Das x hinter der 2 gehört zu 4x, die beim zweiten Summenterm nach der Produktregel beim Ableiten erhalten bleibt).
Das Minus stammt aus der inneren Ableitung von -0,2x, nämlich -0,2.
Nun klammerst Du 4e^(-0,2x) aus und bekommst:
4e^(-0,2x)*(1-0,2x)
Die 1 ist also das, was übrigbleibt, wenn Du aus 4e^(-0,2x) eben diesen Faktor ausklammerst.
Übrigens: Die Klammer um (-0,2x) bei e^(-0,2x) ist unverzichtbar.
Ohne Klammer gehört nur -0,2 zum Exponenten, nicht mehr das x.
e^-0,2x ist (e^-0,2)*x und nichts anderes.
Die Klammern kannst Du nur dann weglassen, wenn durch das Hochstellen der verkleinerten Ziffern und Buchstaben deutlich wird, was zum Exponenten gehört.
Das ist aber hier nur schwer möglich.
Herzliche Grüße,
Willy
erstmal großen dank willy,
kurze frage noch...hab nicht ganz verstanden, wo das minus beim zusammenfassen vor der 4 kommt. unabhängig von der Ableitung, hast du hierbei, wie ich sehe, x*(-0,2) gerechnet und diese dann am ende angehängt. soweit klar. dann würde sich für mich nach dem zusammenfassen aber 4e^(-0,2x)+4e^(-0,2x)*(-0,2x) ergeben.
Das kannst du verallgemeinern :
E(x) = g(x) * e ^ (h(x))
In der Kurzschreibweise dann :
E = g * e ^ (h)
Die Ableitung davon lautet :
E´ = (g´ + g * h´) * e ^ (h)
Auf dein Beispiel angewendet :
E = 4 * x * e ^ (-0.2 * x)
g = 4 * x
g´ = 4
h = - 0.2 * x
h´ = - 0.2
E´ = (4 + 4 * x * -0.2) * e ^ (-0.2 * x)
E´(x) = 4 * ( 1 - 0.2 * x) * e ^ (-0.2 * x)
du schriebst
"hierbei würde ich nun noch 4e^-0,2x ausklammern und würde dann zu folgender Gleichung kommen
4e^-0,2x*(-0,2x)"
wenn du diesen Term nun gleich setzt mit dem E'(x) von dir
E'(x)=4e^-02x + 4xe^-0,2x* (-0,2). Dein Fehler besteht darin dass du zwar richtig 4e^(-0,2x) ausklammerst aber denkst, dass dann im ersten Summand nichts mehr übrig bleibt für die Klammer. Du denkst:
E'(x) = 4e^(-0,2x) (0-0,2x) = 4e^(-0,2x)*(-0,2x)
Aber 4e^(-0,2x)*0 = 0. Zahl mal 0 ist 0
ahja, ich verstehe!
also, weil ich, im Gegensatz zum 2. Summanden, im 1. Summanden "alles" ausklammer und hierbei "nichts" übrig bleibt, anders wie im 2. Summanden, wo noch ein x und (-0,2) über bleibt, hinterlasse ich fürs ausklammern des 1. Summanden eine 1.
danke dir,
aber warum würde ich den ersten Summanden mit 1 multiplizieren? das mit dem x, verstehe ich, da es ja hier vor der 4 steht und eine unabhängige variable ist, sodass das kommutativgesetz greift. aber wo kommt diese 1 her, mit der ich den 1. Summanden multipliziere?
beim zweiten nehme ich in ja aus dem 4xe was nix anderes ist als 4*x*e und setze ihn nach hinten, da ist nun der Faktor (-0,2) und diesen multipliziere ich dann mit dem besagten x, sodass -0,2x daraus entsteht. aber das mit der 1 erschließt sich mir nicht. wo krieg ich die her? du hast geschrieben, ich darf den Summanden einfach mit 1 multiplizieren, aber wenn sich sowieso nix ändert, warum würde ich das machen?