Problem beim Lösen der Stochastikaufgabe in Mathe "Blumensamen: Irrtumswahrscheinlichkeit beim Alternativtest"?
Hallo liebe Community,
es geht um die folgendende Aufgabe in Mathe (Thema: Stochastik), bei der mein Ergebnis (Angabe der Entscheidungsregel) nicht mit dem Ergebnis des Lösungsbuches übereinstimmt.
Ein Gärtner übernimmt einen Posten von großen Behältern mit Blumensamen. Der Inhalt einiger Behälter ist zu 70% keimfähig, der Inhalt der restlichen jedoch nur zu 40%. Es ist aber nicht bekannt, um welche Behälter es sich jeweils handelt. Um dies festzustellen, wird jedem Behälter eine Stichprobe von 10 Samen entnommen und einem Keimversuch unterzogen. Geht mehr als die Hälfte der Samen an, wird dem Samen im entsprechenden Behälter eine Keimfähigkeit von 70% zugeordnet, andernfalls nur eine von 40%. Der Gärtner strebt an, dass einen Behälter mit Samen niedriger Keimfähigkeit (40%) mit nur geringer Wahrscheinlichkeit alpha irrtümlich eine hohe Keimfähigkeit (70%) zugeordnet wird. Wie muss er seine Entscheidungsregel ändern, damit alpha ≤ 5% gilt? Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich nun für die irrtümliche Zuordnung einer niedrigen Keimfähigkeit zu einem Behälter mit tatsächlich hoher Keimfähigkeit? Ist das Testverfahren brauchbar?
Mein Lösungsbuch sagt, dass die kritische Zahl K=6 sein muss, ein Kumpel hatte aber auch K=8 als Ergebnis für die kritische Zahl.
Ich bin sehr dankbar, wenn mir jemand meinen Fehler mitteilt und mich berechtigt.
Beste Grüße carbonpilot01
1 Antwort
Die Argumentation ist in dem Handschriftlichen definitiv richtig, nur die Zahlen scheinen nicht zu stimmen.
Für k=6 gilt P(Fehler erster Art)= 1623424/9765625 = 0.166 (gerundet)
k=7: 534784/9765625 = 0.055 (gerundet)
k=8: 120064/9765625 = 0.012 (gerundet)
Da man für k=7 also noch über 0.05 ist muss k gleich 8 gewählt werden.
Der Fehler PH0(Entscheidung für H1) tritt ja auf, wenn der Behälter zu 40% keimfähig ist („2. Wahl“), ich aber trotzdem in der Stichprobe n=10 und H0: p=0,40 mehr als K keimfähige Samen habe, da X>K als Entscheidung für H1 definiert ist. Nun suche ich deshalb die Wahrscheinlichkeit, dass ich für n=10 und p=0,40 mehr als K Samen in der Stichprobe habe. Diese Wahrscheinlichkeit kann man umschreiben, sodass sie mit der kumulierten Binomialverteilung berechnet werden kann: P(X>K) = 1-P(X<=K) = 1 – F(10; 0,40; K). Laut Aufgabenstellung soll diese Wahrscheinlichkeit nun <= 0,05 sein, weshalb gilt: 1 – F(10; 0,40; K) <= 0,05
Grüße carbonpilot01
Oh, ich merke grad, dass ich das X<=k als X<k gelesen habe, bei meiner Antwort muss man also aus der 6 eine 5 machen, aus der 7 eine 6 und aus der 8 eine 7.
Also ist die richtige Grenze k=7.
Das was du sonst geschrieben hast ist mit klar.
Aber wie berechnest du F(10; 0,40; K)? Da scheint ein Fehler zu passieren.
Danke für Deinen Kommentar.
F(10; 0,40; K) berechne ich über meinen CASIO fx-991DE X.
Dieser liefert:
F(10; 0,40; 6) = 0.9452
F(10; 0,40; 7) = 0,9877
F(10; 0,40; 8) = 0,9983
Wo liegt also mein Fehler?
Darin, dass du F benutzt ohne genau zu verstehen was es tut.
Was kriegst du für F(2,0.5,1) raus?
ok, kannst du F mit einer Gleichung beschreiben? Also F(n,p,k) = ...
F(n;p;k) = B(n; p; 0) + B(n; p; 1) + B(n; p; 2) + ... + B(n; p; k-1) + B(n; p; k)
Und B(n; p; k) kann widerum mit der Bernoulli Formel berechnet werden.
ich habs grade verstanden...
Tut mir Leid, dass ich dich in die Irre geführt habe, du hast alles richtig gemacht.
Die Kombination aus (ich hab <= mit < verwechselt) und (ich hab eine Nachkommastelle weniger angegeben) hat mich verwirrt.
Hast du das handschriftliche komplett selbst erstellt?
Das ist nicht nur super ordentlich, sondern auch richtig gut was Ausführlichkeit und Argumentation angeht.
Dann bin ich ja beruhigt, weil jeder irgendwie eine andere Lösung hatte.
Du hast mich nicht in die Irre geführt, alles gut. ;-)
Das handschriftliche ist selbst erstellt, habe ich an einem vergleichbaren Beispiel in unserem Buch inspiriert und das dann so zusammengefasst.
Vielen Dank! Morgen gibt es den Stern.
Grüße carbonpilot01
Hallo YStoll,
erstmal vielen Dank für Deine Antwort.
Kannst Du Dir bitte meine Rechnung über die kumulierte Binomialverteilung nochmals anschauen und mir sagen, was daran falsch ist, was ich also anders machen muss?
Wir sollen es nämlich über den Weg rechnen, wie ich es gemacht habe... -_-
Danke schonmal im voraus!