Primzahlbrüche
Außer 1/2 = 0,5 und 1/5 = 0,2 haben alle Brüche 1/Primzahl, die ich kenne, eine periodische Dezimaldarstellung.
Gilt das grundsätzlich für alle Primzahlen, und gibt es ggf. dazu einen (einfachen) Beweis?
(Dass es für 2 und 5 nicht gilt, liegt wohl daran, dass dies die Teiler von 10 sind, der Basis unseres Zahlsystems.)
5 Antworten
Deine Vermutung in Klammern stimmt. Ich denk mir grad mal einen einfachen Beweis für das Dezimalsystem aus:
Angenommen, du hast eine Zahl x, die dem vollständig gekürzten Bruch n/m entspricht und nicht periodisch ist. m soll mindestens einen Primzahlfaktor ungleich 2 oder 5 haben. Dann hat x genau y Nachkommastellen. Wenn wir x nun mit 10^y multiplizieren, erhalten wir eine ganze Zahl z. Z entspricht nun aber dem Term 10^y * n/m. m und n sind per Definition teilerfremd. Da m mindestens einen Primzahlfaktor ungleich 2 oder 5 besitzt, kann man den Bruch (10^y * n)/m nicht auf Ganze kürzen. Das steht im Widerspruch zu der Annahme, dass z eine ganze Zahl sei. Es gibt also keine Zahl x, die einem vollständig gekürzten Bruch n/m entspricht, so dass m einen Primzahlfaktor ungleich 2 oder 5 enthält.
Danke fürs Sternchen :D
Alledings hat psychironiker durchaus recht mit seinem Einwand...
Das beweist, dass ein Bruch n/m höchstens periodisch ist, nicht aber, dass er mindestens periodisch ist. n/m könnte nach dieser Überlegung auch unperiodisch sein (wie es irrationale Zahlen tatsächlich sind).
Als Anregung:
Ein Analogon zu der Periodizität von Zahlenfolgen in der Welt der Kristalle ist die deckungsgleiche Abbildbarkeit des Kristallgitters auf sich selbst durch Verschiebungen und Drehungen. Diesen Abbildungen entsprechen die verschiedenen Typen von Symmetrie, die die klassische Kristalltheorie kennt. Lange glaubte man, daß es andere als diese bekannten Symmetrien bei Festkörpern nicht geben könne, daß z.B. keine regelmäßig-fünfeckigen Kristalle geben könne. Die überraschende Entdeckung der Quasikristalle, bei denen es solche "unmöglichen" Symmetrien tatsächlich gibt, hat zu neuen theoretischen Ideen über das Wesen der Symmetrie geführt.
Aus dem Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Quasikristall nun eine Aussage, die vielleicht hier von Interesse ist:
Ein periodisches Muster kann man komplett um einen bestimmten Abstand so verschieben, dass jedes verschobene Atom genau die Stelle eines entsprechenden Atoms im Originalmuster einnimmt. In einem quasiperiodischen Muster ist eine derartige komplette Parallelverschiebung des Musters nicht möglich, egal, welchen Abstand man wählt. Allerdings kann man jeden beliebigen Ausschnitt, egal welche Größe er hat, so verschieben, dass er (ggf. nach einer Rotation) deckungsgleich mit einem entsprechenden Ausschnitt ist.
Übertragen wir das auf die hier betrachteten unendlichen Dezimalbrüche, liegt die Frage nahe: Was kann man über quasiperiodische Zahlen sagen?
Deine Vermutung ist m.E. richtig.
Das kann damit begründet werden, dass sich bis auf 1/2 und 1/5 jeder Bruch der Form 1/p (p Primzahl) zu einem Bruch der Form
B = z / (10^k -1)
erweitern lässt (s.u.). Wie du leicht nachrechnest, ist B der Wert der konvergenten geometrischen Reihe
z * 10^k * ∑ (10^(-k))^i, mit i = 1,..., ∞,
und diese Reihe ist ein periodischer Dezimalbruch mit einer k-stelligen Periode.
Zu zeigen bleibt, dass sich 1/p stets zu einem Bruch der Form B erweitern lässt (Beispiel: 1/13 = 76923 / 999999 = 0,076923 (Periode))
Dazu überlegst du, dass die rekursiv definierte Folge
<x(n)>: x0 = 9, x(n+1) = 10* x(n) +9
aus lauter Ziffern "9" bestehende Zahlen produziert. Die Glieder von <x(n)> müssen im Restklassenring Z / p die gleichen Klassen wiederholt durchlaufen, weil Z / p nur endlich viele Klassen hat. Mit zwei einfachen Umformungen der Formulierung dieser Kongruenz kannst du zeigen, dass die Glieder von <x(n)> auch die Nullklasse von Z / p durchlaufen müssen (und also ein Glied mit kleinstem Index k ohne Rest durch p teilbar ist, q.e.d) ; hier brauchst du die Voraussetzung, dass in Z / p wegen p ≠ 2, p ≠ 5 nicht 10 ≡ 0 ist ↔ das Inverse 10^(-1) existiert.
Anschauung: Wie du ebenfalls leicht nachrechnest, durchläuft die Folge <x(n)> in Z/13 nacheinander die Klassen 9, 8, 11, 2, 3, 0, und also ist eine 6stellige aus lauter Ziffern 9 bestehende Zahl durch 13 teilbar (du musst zum Existenznachweis den Wert dieses Quotienten ↔ die Ziffern der Periode nicht kennen).
Das Ganze ist "Marke Eigenbau"; eine exakte Ausformulierung der Beweisschritte kann ich "nachliefern", will dir aber nicht den Spaß verderben, sie selbst zu formulieren. Es fehlen nur zwei Zeilen, und natürlich interessiert mich, ob du auf das Gleiche kommst.
Dass es in etwa so ist, steht hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Dezimalsystem#Dezimalbruchentwicklung, aber man muss sich durch den Text durchkämpfen. Viel Spaß!
Aufschlußreich ist auch das auch hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Rationale_Zahl#Dezimalbruchentwicklung
Bemerkenswerterweise besitzt jede rationale Zahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung, jede irrationale Zahl dagegen eine nichtperiodische (beachte: eine endlich abbrechende Dezimalbruchentwicklung ist ein Spezialfall der periodischen Dezimalbruchentwicklung, bei der sich nach der endlichen Ziffernfolge die Dezimalziffer 0 oder 9 periodisch wiederholt).
Die Fälle 1/2 = 0,5 und 1/5 = 0,2 haben ganz einfach die Periode 0000000...
Könnte damit zusammenhängen, dass sie egal mit welcher natürlichen Zahl multipliziert 10 /100 ... ergeben bzw., dass sie nur durch sich und 1 teilbar sind
Ja, im Unterabschnitt http://de.wikipedia.org/wiki/Dezimalsystem#Periode heißt es "Echte Perioden ... treten im Dezimalsystem genau dann auf, wenn sich der Nenner des zugrunde liegenden Bruches nicht ausschließlich durch die Primfaktoren 2 und 5 erzeugen lässt." - Also gilt meine Vermutung nicht nur für alle Primzahlen außer 2 und 5, sondern sogar für viel mehr Zahlen ...
Danke!